Страница 50 номер 5.31, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Известно, что \(\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b}\), \(\vec{n} = \vec{a} - 3\vec{b}\). Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{m} \perp \vec{n}\), \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\).
Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) перпендикулярны, поэтому \(\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}| \cos 90^\circ = 0\).
\[\begin{aligned} &\vec{m} \cdot \vec{n} = (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = {} \\ &= 2\vec{a}^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + 3\vec{b}^2 = {} \\ &= 2\vec{a}^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} + 3\vec{b}^2. \end{aligned}\]
\(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 4\), \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 2\). Тогда \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 8 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} + 6 = 14 - 7\vec{a} \cdot \vec{b}\), и из равенства \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 0\) получаем:
\[\begin{aligned} 14 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} &= 0; \\ 7\vec{a} \cdot \vec{b} &= 14; \qquad | : 7 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 2. \end{aligned}\]
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ненулевые (\(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\)), поэтому \(\cos \angle(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Угол между векторами удовлетворяет неравенству \(0^\circ \leqslant \angle(\vec{a}, \vec{b}) \leqslant 180^\circ\), поэтому \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\).
Ответ: \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\).
Известно, что \(\vec{m} = 2\vec{a} - \vec{b}\), \(\vec{n} = \vec{a} - 3\vec{b}\). Найдите угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), если \(\vec{m} \perp \vec{n}\), \(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\).
Векторы \(\vec{m}\) и \(\vec{n}\) перпендикулярны, то есть угол между ними равен \(90^\circ\), поэтому по определению скалярного произведения \(\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}||\vec{n}| \cos 90^\circ = 0\).
Раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения:
\[\begin{aligned} &\vec{m} \cdot \vec{n} = (2\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 3\vec{b}) = {} \\ &= 2\vec{a}^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + 3\vec{b}^2 = {} \\ &= 2\vec{a}^2 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} + 3\vec{b}^2. \end{aligned}\]
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля: \(\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2 = 4\), \(\vec{b}^2 = |\vec{b}|^2 = 2\). Тогда \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 8 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} + 6 = 14 - 7\vec{a} \cdot \vec{b}\), и из равенства \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 0\) получаем:
\[\begin{aligned} 14 - 7\vec{a} \cdot \vec{b} &= 0; \\ 7\vec{a} \cdot \vec{b} &= 14; \qquad | : 7 \\ \vec{a} \cdot \vec{b} &= 2. \end{aligned}\]
Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ненулевые (\(|\vec{a}| = 2\), \(|\vec{b}| = \sqrt{2}\)), поэтому из равенства \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos \angle(\vec{a}, \vec{b})\) находим: \(\cos \angle(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\). Угол между векторами удовлетворяет неравенству \(0^\circ \leqslant \angle(\vec{a}, \vec{b}) \leqslant 180^\circ\), поэтому \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\).
Ответ: \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ\).
