Страница 51 номер 5.45, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Рёбра \(AB\) и \(BC\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равны соответственно 1 см и \(\sqrt{7}\) см. Угол между прямыми \(CB_1\) и \(BD_1\) равен \(45^\circ\). Найдите ребро \(AA_1\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AB = 1\) см
\(BC = \sqrt{7}\) см
угол между прямыми \(CB_1\) и \(BD_1\) равен \(45^\circ\)
Найти: \(AA_1\).
Решение: Обозначим \(AA_1 = h\) см; боковые рёбра параллелепипеда равны, поэтому \(BB_1 = h\) см. В качестве базиса \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BB_1})\). Параллелепипед прямоугольный, поэтому эти векторы попарно перпендикулярны: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\); кроме того, \(\vec{a}^2 = 1\), \(\vec{b}^2 = 7\), \(\vec{c}^2 = h^2\).
\(\overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BB_1} = -\vec{b} + \vec{c}\), а по правилу параллелепипеда \(\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\). Тогда \[\begin{aligned} \overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{BD_1} &= (-\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -\vec{b}^2 + \vec{c}^2 = h^2 - 7; \\ |\overrightarrow{CB_1}| &= \sqrt{(-\vec{b} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{b}^2 + \vec{c}^2} = \sqrt{h^2 + 7}; \\ |\overrightarrow{BD_1}| &= \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2} = \sqrt{h^2 + 8}. \end{aligned}\]
Обозначим через \(\varphi\) угол между векторами \(\overrightarrow{CB_1}\) и \(\overrightarrow{BD_1}\). Угол между прямыми \(CB_1\) и \(BD_1\) равен \(\varphi\), если \(\varphi \leqslant 90^\circ\), и \(180^\circ - \varphi\), если \(\varphi > 90^\circ\). Поэтому \(\varphi = 45^\circ\) или \(\varphi = 135^\circ\), то есть \(\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(\cos \varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). По определению скалярного произведения \(\overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{BD_1} = |\overrightarrow{CB_1}| \cdot |\overrightarrow{BD_1}| \cos \varphi\), то есть \(h^2 - 7 = \sqrt{h^2 + 7} \cdot \sqrt{h^2 + 8} \cdot \cos \varphi\). В обоих случаях \(\cos^2 \varphi = \frac{1}{2}\), поэтому после возведения обеих частей в квадрат получаем одно и то же уравнение: \[\begin{aligned} (h^2 - 7)^2 &= \frac{1}{2}(h^2 + 7)(h^2 + 8); \qquad | \cdot 2 \\ 2h^4 - 28h^2 + 98 &= h^4 + 15h^2 + 56; \\ h^4 - 43h^2 + 42 &= 0. \end{aligned}\]
Это квадратное уравнение относительно \(h^2\), его корни \(h^2 = 1\) и \(h^2 = 42\).
При \(h^2 = 42\) имеем \(h^2 - 7 = 35 > 0\), то есть \(\cos \varphi > 0\) — это случай \(\varphi = 45^\circ\). Проверка: \(\sqrt{49} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 35\). Значит, \(h = \sqrt{42}\).
При \(h^2 = 1\) имеем \(h^2 - 7 = -6 < 0\), то есть \(\cos \varphi < 0\) — это случай \(\varphi = 135^\circ\). Проверка: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{9} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6\). Значит, \(h = 1\).
Ответ: \(AA_1 = 1\) см или \(AA_1 = \sqrt{42}\) см.
Рёбра \(AB\) и \(BC\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равны соответственно 1 см и \(\sqrt{7}\) см. Угол между прямыми \(CB_1\) и \(BD_1\) равен \(45^\circ\). Найдите ребро \(AA_1\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — прямоугольный параллелепипед
\(AB = 1\) см
\(BC = \sqrt{7}\) см
угол между прямыми \(CB_1\) и \(BD_1\) равен \(45^\circ\)
Найти: \(AA_1\).
Решение: Обозначим \(AA_1 = h\) см; боковые рёбра параллелепипеда равны, поэтому \(BB_1 = h\) см. В качестве базиса \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BB_1})\). Параллелепипед прямоугольный, поэтому эти векторы попарно перпендикулярны: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} = 0\); кроме того, \(\vec{a}^2 = 1\), \(\vec{b}^2 = 7\), \(\vec{c}^2 = h^2\).
Разложим векторы \(\overrightarrow{CB_1}\) и \(\overrightarrow{BD_1}\) по базису: \(\overrightarrow{CB_1} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BB_1} = -\vec{b} + \vec{c}\), а по правилу параллелепипеда \(\overrightarrow{BD_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BB_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\). Тогда \[\begin{aligned} \overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{BD_1} &= (-\vec{b} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) = -\vec{b}^2 + \vec{c}^2 = h^2 - 7; \\ |\overrightarrow{CB_1}| &= \sqrt{(-\vec{b} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{b}^2 + \vec{c}^2} = \sqrt{h^2 + 7}; \\ |\overrightarrow{BD_1}| &= \sqrt{(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})^2} = \sqrt{\vec{a}^2 + \vec{b}^2 + \vec{c}^2} = \sqrt{h^2 + 8}. \end{aligned}\]
Обозначим через \(\varphi\) угол между векторами \(\overrightarrow{CB_1}\) и \(\overrightarrow{BD_1}\). Угол между прямыми \(CB_1\) и \(BD_1\) равен \(\varphi\), если \(\varphi \leqslant 90^\circ\), и \(180^\circ - \varphi\), если \(\varphi > 90^\circ\). Поэтому \(\varphi = 45^\circ\) или \(\varphi = 135^\circ\), то есть \(\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(\cos \varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). По определению скалярного произведения \(\overrightarrow{CB_1} \cdot \overrightarrow{BD_1} = |\overrightarrow{CB_1}| \cdot |\overrightarrow{BD_1}| \cos \varphi\), то есть \(h^2 - 7 = \sqrt{h^2 + 7} \cdot \sqrt{h^2 + 8} \cdot \cos \varphi\). В обоих случаях \(\cos^2 \varphi = \frac{1}{2}\), поэтому после возведения обеих частей в квадрат получаем одно и то же уравнение: \[\begin{aligned} (h^2 - 7)^2 &= \frac{1}{2}(h^2 + 7)(h^2 + 8); \qquad | \cdot 2 \\ 2h^4 - 28h^2 + 98 &= h^4 + 15h^2 + 56; \\ h^4 - 43h^2 + 42 &= 0. \end{aligned}\]
Это квадратное уравнение относительно \(h^2\), его корни \(h^2 = 1\) и \(h^2 = 42\). При возведении в квадрат могли появиться посторонние корни, поэтому каждый корень отнесём к своему случаю и проверим.
При \(h^2 = 42\) имеем \(h^2 - 7 = 35 > 0\), то есть \(\cos \varphi > 0\) — это случай \(\varphi = 45^\circ\). Проверка: \(\sqrt{49} \cdot \sqrt{50} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 7 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 35\). Значит, \(h = \sqrt{42}\).
При \(h^2 = 1\) имеем \(h^2 - 7 = -6 < 0\), то есть \(\cos \varphi < 0\) — это случай \(\varphi = 135^\circ\). Проверка: \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{9} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -6\). Значит, \(h = 1\).
Ответ: \(AA_1 = 1\) см или \(AA_1 = \sqrt{42}\) см.
