Страница 51 номер 5.48, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Дано:
\(p\) и \(k\) — скрещивающиеся прямые
угол между прямыми \(p\) и \(k\) равен \(60^\circ\)
\(A\) и \(N\) лежат на прямой \(p\)
\(B\) и \(M\) лежат на прямой \(k\)
\(MN\) — общий перпендикуляр прямых \(p\) и \(k\)
\(AN = NM = MB\)
Найти: угол между прямыми \(AB\) и \(MN\).
Решение: Обозначим \(AN = NM = MB = a\). По правилу треугольника, применённому дважды, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MB}\). Отрезок \(MN\) — общий перпендикуляр прямых \(p\) и \(k\), поэтому векторы \(\overrightarrow{AN}\) и \(\overrightarrow{MB}\), лежащие на этих прямых, перпендикулярны вектору \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
Обозначим через \(\varphi\) угол между векторами \(\overrightarrow{AN}\) и \(\overrightarrow{MB}\). Угол между прямыми \(p\) и \(k\) равен углу \(\varphi\) между лежащими на них векторами, если \(\varphi \leqslant 90^\circ\), и \(180^\circ - \varphi\), если \(\varphi > 90^\circ\). Поэтому \(\varphi = 60^\circ\) или \(\varphi = 120^\circ\), а \(\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{MB} = a \cdot a \cdot \cos \varphi = a^2 \cos \varphi\).
Тогда \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NM}^2 + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{NM} = 0 + a^2 + 0 = a^2\) и \[\begin{aligned} \overrightarrow{AB}^2 &= \overrightarrow{AN}^2 + \overrightarrow{NM}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + {} \\ &+ 2\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{NM} + 2\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{MB} = {} \\ &= 3a^2 + 2a^2 \cos \varphi. \end{aligned}\]
Обозначим через \(\psi\) угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{NM}\). Тогда \(\cos \psi = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{NM}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{NM}|} = \frac{a^2}{|\overrightarrow{AB}| \cdot a} = \frac{a}{|\overrightarrow{AB}|}\). Этот косинус положителен, поэтому угол \(\psi\) острый и угол между прямыми \(AB\) и \(MN\) равен \(\psi\).
Если \(\varphi = 60^\circ\), то \(\overrightarrow{AB}^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2\), \(|\overrightarrow{AB}| = 2a\), \(\cos \psi = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\) и \(\psi = 60^\circ\).
Если \(\varphi = 120^\circ\), то \(\overrightarrow{AB}^2 = 3a^2 - a^2 = 2a^2\), \(|\overrightarrow{AB}| = a\sqrt{2}\), \(\cos \psi = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\psi = 45^\circ\).
Ответ: угол между прямыми \(AB\) и \(MN\) равен \(60^\circ\) или \(45^\circ\).
Дано:
\(p\) и \(k\) — скрещивающиеся прямые
угол между прямыми \(p\) и \(k\) равен \(60^\circ\)
\(A\) и \(N\) лежат на прямой \(p\)
\(B\) и \(M\) лежат на прямой \(k\)
\(MN\) — общий перпендикуляр прямых \(p\) и \(k\)
\(AN = NM = MB\)
Найти: угол между прямыми \(AB\) и \(MN\).
Решение: Обозначим \(AN = NM = MB = a\). По правилу треугольника, применённому дважды, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AN} + \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{MB}\). Отрезок \(MN\) — общий перпендикуляр прямых \(p\) и \(k\), поэтому векторы \(\overrightarrow{AN}\) и \(\overrightarrow{MB}\), лежащие на этих прямых, перпендикулярны вектору \(\overrightarrow{NM}\) и \(\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{MB} = 0\).
Обозначим через \(\varphi\) угол между векторами \(\overrightarrow{AN}\) и \(\overrightarrow{MB}\) (это угол между вектором \(\overrightarrow{MB}\) и отложенным от точки \(M\) вектором, равным \(\overrightarrow{AN}\)). Угол между прямыми \(p\) и \(k\) равен углу \(\varphi\) между лежащими на них векторами, если \(\varphi \leqslant 90^\circ\), и \(180^\circ - \varphi\), если \(\varphi > 90^\circ\). Поэтому \(\varphi = 60^\circ\) или \(\varphi = 120^\circ\), а \(\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{MB} = a \cdot a \cdot \cos \varphi = a^2 \cos \varphi\).
Тогда \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{NM} + \overrightarrow{NM}^2 + \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{NM} = 0 + a^2 + 0 = a^2\) и \[\begin{aligned} \overrightarrow{AB}^2 &= \overrightarrow{AN}^2 + \overrightarrow{NM}^2 + \overrightarrow{MB}^2 + {} \\ &+ 2\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{NM} + 2\overrightarrow{NM} \cdot \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{MB} = {} \\ &= 3a^2 + 2a^2 \cos \varphi. \end{aligned}\]
Обозначим через \(\psi\) угол между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{NM}\). Тогда \(\cos \psi = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{NM}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{NM}|} = \frac{a^2}{|\overrightarrow{AB}| \cdot a} = \frac{a}{|\overrightarrow{AB}|}\). Этот косинус положителен, поэтому угол \(\psi\) острый и угол между прямыми \(AB\) и \(MN\) равен \(\psi\).
Если \(\varphi = 60^\circ\), то \(\overrightarrow{AB}^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2\), \(|\overrightarrow{AB}| = 2a\), \(\cos \psi = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\) и \(\psi = 60^\circ\).
Если \(\varphi = 120^\circ\), то \(\overrightarrow{AB}^2 = 3a^2 - a^2 = 2a^2\), \(|\overrightarrow{AB}| = a\sqrt{2}\), \(\cos \psi = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\psi = 45^\circ\).
Ответ: угол между прямыми \(AB\) и \(MN\) равен \(60^\circ\) или \(45^\circ\).
