Страница 51 номер 5.42, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Все грани четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) являются ромбами. Известно, что \(AB = 3\) см, \(\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ\). Найдите расстояние от точки \(A\) до точки пересечения медиан треугольника \(BC_1D\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — четырёхугольная призма
все грани призмы — ромбы
\(AB = 3\) см
\(\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ\)
\(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(BC_1D\)
Найти: \(AM\).
Решение: Основание призмы — ромб \(ABCD\), то есть параллелограмм, поэтому данная призма — параллелепипед. Грани \(ABCD\) и \(AA_1B_1B\) — ромбы, поэтому \(AD = AB = 3\) см и \(AA_1 = AB = 3\) см.
В качестве базиса \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AA_1})\) — рёбер параллелепипеда, выходящих из вершины \(A\). Модули этих векторов равны 3, а попарные углы между ними — \(60^\circ\), поэтому \(\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = \vec{c}^2 = 9\) и \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}\).
Точка \(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(BC_1D\), поэтому для любой точки \(X\) пространства выполняется равенство \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC_1} + \overrightarrow{XD})\). При \(X = A\) получаем \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{AD})\). По правилу параллелепипеда \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\). Значит, \[\begin{aligned} \overrightarrow{AM} &= \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}); \\ \overrightarrow{AM}^2 &= \frac{1}{9}(2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c})^2 = {} \\ &= \frac{1}{9}\left(4\vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 8\vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{a} \cdot \vec{c} + 4\vec{b} \cdot \vec{c}\right) = {} \\ &= \frac{1}{9}(36 + 36 + 9 + 36 + 18 + 18) = \frac{153}{9} = 17. \end{aligned}\]
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, поэтому \(AM = |\overrightarrow{AM}| = \sqrt{17}\) (см).
Ответ: \(AM = \sqrt{17}\) см.
Все грани четырёхугольной призмы \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) являются ромбами. Известно, что \(AB = 3\) см, \(\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ\). Найдите расстояние от точки \(A\) до точки пересечения медиан треугольника \(BC_1D\).
Дано:
\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) — четырёхугольная призма
все грани призмы — ромбы
\(AB = 3\) см
\(\angle DAB = \angle DAA_1 = \angle BAA_1 = 60^\circ\)
\(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(BC_1D\)
Найти: \(AM\).
Решение: Основание призмы — ромб \(ABCD\), то есть параллелограмм, поэтому данная призма — параллелепипед. Грани \(ABCD\) и \(AA_1B_1B\) — ромбы, поэтому \(AD = AB = 3\) см и \(AA_1 = AB = 3\) см.
В качестве базиса \((\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AD}; \overrightarrow{AA_1})\) — рёбер параллелепипеда, выходящих из вершины \(A\). Модули этих векторов равны 3, а попарные углы между ними — \(60^\circ\), поэтому \(\vec{a}^2 = \vec{b}^2 = \vec{c}^2 = 9\) и \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} = 3 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = \frac{9}{2}\).
Точка \(M\) — точка пересечения медиан треугольника \(BC_1D\), поэтому для любой точки \(X\) пространства выполняется равенство \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{XB} + \overrightarrow{XC_1} + \overrightarrow{XD})\). При \(X = A\) получаем \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC_1} + \overrightarrow{AD})\). По правилу параллелепипеда \(\overrightarrow{AC_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}\). Значит, \[\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{b}) = \frac{1}{3}(2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c}).\]
Найдём скалярный квадрат вектора \(\overrightarrow{AM}\): \[\begin{aligned} &\overrightarrow{AM}^2 = \frac{1}{9}(2\vec{a} + 2\vec{b} + \vec{c})^2 = {} \\ &= \frac{1}{9}\left(4\vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 + \vec{c}^2 + 8\vec{a} \cdot \vec{b} + 4\vec{a} \cdot \vec{c} + 4\vec{b} \cdot \vec{c}\right) = {} \\ &= \frac{1}{9}(36 + 36 + 9 + 36 + 18 + 18) = \frac{153}{9} = 17. \end{aligned}\]
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, поэтому \(AM = |\overrightarrow{AM}| = \sqrt{17}\) (см).
Ответ: \(AM = \sqrt{17}\) см.
