Страница 50 номер 5.29, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны точки \(A(2; -1; 4)\), \(B(5; 1; 0)\) и \(C(6; 1; 3)\). Найдите на оси \(y\) такую точку \(D\), чтобы векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) были перпендикулярны.
Точка \(D\) лежит на оси \(y\), поэтому \(D(0; y; 0)\).
\(\overrightarrow{AB}(5 - 2; 1 - (-1); 0 - 4)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(3; 2; -4)\), и \(\overrightarrow{CD}(0 - 6; y - 1; 0 - 3)\), то есть \(\overrightarrow{CD}(-6; y - 1; -3)\).
Первая координата каждого из векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) отлична от нуля, поэтому оба вектора ненулевые при любом значении \(y\). Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\), то есть
\[\begin{aligned} 3 \cdot (-6) + 2 \cdot (y - 1) + (-4) \cdot (-3) &= 0; \\ -18 + 2y - 2 + 12 &= 0; \\ 2y &= 8; \qquad | : 2 \\ y &= 4. \end{aligned}\]
Значит, \(D(0; 4; 0)\).
Ответ: \(D(0; 4; 0)\).
Даны точки \(A(2; -1; 4)\), \(B(5; 1; 0)\) и \(C(6; 1; 3)\). Найдите на оси \(y\) такую точку \(D\), чтобы векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) были перпендикулярны.
Точка \(D\) лежит на оси \(y\), поэтому её абсцисса и аппликата равны нулю: \(D(0; y; 0)\).
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, поэтому \(\overrightarrow{AB}(5 - 2; 1 - (-1); 0 - 4)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(3; 2; -4)\), и \(\overrightarrow{CD}(0 - 6; y - 1; 0 - 3)\), то есть \(\overrightarrow{CD}(-6; y - 1; -3)\).
Первая координата каждого из векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) отлична от нуля, поэтому оба вектора ненулевые при любом значении \(y\). Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{CD}\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\). По формуле скалярного произведения векторов, заданных координатами, это равенство принимает вид:
\[\begin{aligned} 3 \cdot (-6) + 2 \cdot (y - 1) + (-4) \cdot (-3) &= 0; \\ -18 + 2y - 2 + 12 &= 0; \\ 2y &= 8; \qquad | : 2 \\ y &= 4. \end{aligned}\]
Значит, \(D(0; 4; 0)\).
Ответ: \(D(0; 4; 0)\).
