Страница 50 номер 5.28, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны точки \(A(0; -1; 1)\), \(B(-2; 0; -1)\) и \(C(-2; -1; 0)\). Найдите на оси \(z\) такую точку \(D\), чтобы векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) были перпендикулярны.
Точка \(D\) лежит на оси \(z\), поэтому \(D(0; 0; z)\).
\(\overrightarrow{AC}(-2 - 0; -1 - (-1); 0 - 1)\), то есть \(\overrightarrow{AC}(-2; 0; -1)\), и \(\overrightarrow{BD}(0 - (-2); 0 - 0; z - (-1))\), то есть \(\overrightarrow{BD}(2; 0; z + 1)\).
Первая координата каждого из векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) отлична от нуля, поэтому оба вектора ненулевые при любом значении \(z\). Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\), то есть
\[\begin{aligned} -2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) &= 0; \\ -4 - z - 1 &= 0; \\ z &= -5. \end{aligned}\]
Значит, \(D(0; 0; -5)\).
Ответ: \(D(0; 0; -5)\).
Даны точки \(A(0; -1; 1)\), \(B(-2; 0; -1)\) и \(C(-2; -1; 0)\). Найдите на оси \(z\) такую точку \(D\), чтобы векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) были перпендикулярны.
Точка \(D\) лежит на оси \(z\), поэтому её абсцисса и ордината равны нулю: \(D(0; 0; z)\).
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, поэтому \(\overrightarrow{AC}(-2 - 0; -1 - (-1); 0 - 1)\), то есть \(\overrightarrow{AC}(-2; 0; -1)\), и \(\overrightarrow{BD}(0 - (-2); 0 - 0; z - (-1))\), то есть \(\overrightarrow{BD}(2; 0; z + 1)\).
Первая координата каждого из векторов \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) отлична от нуля, поэтому оба вектора ненулевые при любом значении \(z\). Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда \(\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 0\). По формуле скалярного произведения векторов, заданных координатами, это равенство принимает вид:
\[\begin{aligned} -2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 + (-1) \cdot (z + 1) &= 0; \\ -4 - z - 1 &= 0; \\ z &= -5. \end{aligned}\]
Значит, \(D(0; 0; -5)\).
Ответ: \(D(0; 0; -5)\).
