Страница 50 номер 5.37, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Основанием пирамиды \(DABC\) является равнобедренный треугольник \(ABC\), \(AB = BC\), \(\angle DBA = \angle DBC\). Докажите, что \(BD \perp AC\).
Векторы \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) отложены от одной точки \(B\), поэтому \(\angle(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BA}) = \angle DBA\) и \(\angle(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}) = \angle DBC\). Обозначим \(\angle DBA = \angle DBC = \alpha\). По правилу нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}\).
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \cdot (\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) = {} \\ &= \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BA} = {} \\ &= |\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cos \alpha - |\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BA}| \cos \alpha. \end{aligned}\]
По условию \(BC = BA\), то есть \(|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BA}|\), поэтому \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).
Векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AC}\) ненулевые (это рёбра пирамиды), а скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, угол между векторами \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен \(90^\circ\). Угол между прямыми равен углу между векторами, лежащими на этих прямых, если этот угол не больше \(90^\circ\), поэтому угол между прямыми \(BD\) и \(AC\) равен \(90^\circ\), то есть \(BD \perp AC\).
Ответ: прямые \(BD\) и \(AC\) перпендикулярны.
Основанием пирамиды \(DABC\) является равнобедренный треугольник \(ABC\), \(AB = BC\), \(\angle DBA = \angle DBC\). Докажите, что \(BD \perp AC\).
Векторы \(\overrightarrow{BA}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) отложены от одной точки \(B\), поэтому \(\angle(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BA}) = \angle DBA\) и \(\angle(\overrightarrow{BD}, \overrightarrow{BC}) = \angle DBC\). Обозначим \(\angle DBA = \angle DBC = \alpha\). По правилу нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки, \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}\).
Найдём скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AC}\):
\[\begin{aligned} &\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BD} \cdot (\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}) = {} \\ &= \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{BA} = {} \\ &= |\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cos \alpha - |\overrightarrow{BD}| \cdot |\overrightarrow{BA}| \cos \alpha. \end{aligned}\]
По условию \(BC = BA\), то есть \(|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BA}|\), поэтому \(\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\).
Векторы \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AC}\) ненулевые (это рёбра пирамиды), а скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, угол между векторами \(\overrightarrow{BD}\) и \(\overrightarrow{AC}\) равен \(90^\circ\). Угол между прямыми равен углу между векторами, лежащими на этих прямых, если этот угол не больше \(90^\circ\), поэтому угол между прямыми \(BD\) и \(AC\) равен \(90^\circ\), то есть \(BD \perp AC\).
Ответ: прямые \(BD\) и \(AC\) перпендикулярны.
