Страница 51 номер 5.46, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCA_1B_1C_1\) — правильная треугольная призма
\(AB = a\)
угол между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\) равен \(\arccos \frac{1}{4}\)

Найти: \(AA_1\).

Решение: Обозначим \(AA_1 = h\). Призма правильная, поэтому её основание — равносторонний треугольник со стороной \(a\), а боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания. В качестве базиса \((\vec{m}; \vec{n}; \vec{p})\) выберем тройку некомпланарных векторов \((\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{AC}; \overrightarrow{AA_1})\). Тогда \(\vec{m}^2 = \vec{n}^2 = a^2\), \(\vec{p}^2 = h^2\), \(\vec{m} \cdot \vec{n} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{a^2}{2}\), \(\vec{m} \cdot \vec{p} = \vec{n} \cdot \vec{p} = 0\).

Боковые грани призмы — параллелограммы, поэтому \(\overrightarrow{BB_1} = \overrightarrow{CC_1} = \overrightarrow{AA_1} = \vec{p}\). Тогда \(\overrightarrow{AB_1} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB_1} = \vec{m} + \vec{p}\), \(\overrightarrow{BC_1} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC_1} = -\vec{m} + \vec{n} + \vec{p}\) и \[\begin{aligned} &\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1} = (\vec{m} + \vec{p}) \cdot (-\vec{m} + \vec{n} + \vec{p}) = {} \\ &= -\vec{m}^2 + \vec{m} \cdot \vec{n} + \vec{p}^2 = h^2 - \frac{a^2}{2}. \end{aligned}\]

Кроме того, \(\overrightarrow{AB_1}^2 = \vec{m}^2 + \vec{p}^2 = a^2 + h^2\) и \(\overrightarrow{BC_1}^2 = \vec{m}^2 + \vec{n}^2 + \vec{p}^2 - 2\vec{m} \cdot \vec{n} = a^2 + h^2\).

Обозначим через \(\varphi\) угол между векторами \(\overrightarrow{AB_1}\) и \(\overrightarrow{BC_1}\). Тогда \[\cos \varphi = \frac{\overrightarrow{AB_1} \cdot \overrightarrow{BC_1}}{|\overrightarrow{AB_1}| \cdot |\overrightarrow{BC_1}|} = \frac{h^2 - \frac{a^2}{2}}{a^2 + h^2} = \frac{2h^2 - a^2}{2(a^2 + h^2)}.\]

Угол между прямыми \(AB_1\) и \(BC_1\) равен \(\varphi\), если \(\varphi \leqslant 90^\circ\), и \(180^\circ - \varphi\), если \(\varphi > 90^\circ\). Поэтому \(\varphi = \arccos \frac{1}{4}\) или \(\varphi = 180^\circ - \arccos \frac{1}{4}\), то есть \(\cos \varphi = \frac{1}{4}\) или \(\cos \varphi = -\frac{1}{4}\).

Если \(\cos \varphi = \frac{1}{4}\), то \[\begin{aligned} \frac{2h^2 - a^2}{2(a^2 + h^2)} &= \frac{1}{4}; \qquad | \cdot 4(a^2 + h^2) \\ 4h^2 - 2a^2 &= a^2 + h^2; \\ 3h^2 &= 3a^2; \qquad | : 3 \\ h^2 &= a^2. \end{aligned}\]

Значит, \(h = a\).

Если \(\cos \varphi = -\frac{1}{4}\), то \[\begin{aligned} \frac{2h^2 - a^2}{2(a^2 + h^2)} &= -\frac{1}{4}; \qquad | \cdot 4(a^2 + h^2) \\ 4h^2 - 2a^2 &= -a^2 - h^2; \\ 5h^2 &= a^2; \qquad | : 5 \\ h^2 &= \frac{a^2}{5}. \end{aligned}\]

Значит, \(h = \frac{a}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{5}}{5}\). Оба значения подходят: множитель \(4(a^2 + h^2)\) положителен, поэтому преобразования равносильны.

Ответ: \(AA_1 = a\) или \(AA_1 = \frac{a\sqrt{5}}{5}\).