Страница 50 номер 5.40, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Рёбра \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) относятся как \(3 : 1 : 2\), а его рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом в точке \(B\), осями \(x\), \(y\) и \(z\), направленными по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\), и единичным отрезком, равным ребру \(AD\). Тогда \(BA = 3\), \(BC = AD = 1\), \(BB_1 = AA_1 = 2\), и \(A(3; 0; 0)\), \(A_1(3; 0; 2)\), \(C(0; 1; 0)\), \(D_1(3; 1; 2)\).
Точка \(M\) лежит на ребре \(AB\), и \(AM : MB = 1 : 2\), поэтому \(BM = \frac{2}{3}BA = 2\) и \(M(2; 0; 0)\). Точка \(N\) лежит на ребре \(BC\), и \(BN : NC = 1 : 1\), то есть \(N\) — середина ребра \(BC\): \(N\left(0; \frac{1}{2}; 0\right)\). Точка \(O\) — центр прямоугольника \(CC_1D_1D\), то есть середина его диагонали \(CD_1\), поэтому \(O\left(\frac{0 + 3}{2}; \frac{1 + 1}{2}; \frac{0 + 2}{2}\right)\), то есть \(O\left(\frac{3}{2}; 1; 1\right)\).
\(\overrightarrow{MO}\left(\frac{3}{2} - 2; 1 - 0; 1 - 0\right)\), то есть \(\overrightarrow{MO}\left(-\frac{1}{2}; 1; 1\right)\), и \(\overrightarrow{A_1N}\left(0 - 3; \frac{1}{2} - 0; 0 - 2\right)\), то есть \(\overrightarrow{A_1N}\left(-3; \frac{1}{2}; -2\right)\).
\(\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{A_1N} = -\frac{1}{2} \cdot (-3) + 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot (-2) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2 = 0\).
Векторы \(\overrightarrow{MO}\) и \(\overrightarrow{A_1N}\) ненулевые, а скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, угол между векторами \(\overrightarrow{MO}\) и \(\overrightarrow{A_1N}\) равен \(90^\circ\). Угол между прямыми равен углу между векторами, лежащими на этих прямых, если этот угол не больше \(90^\circ\), поэтому угол между прямыми \(MO\) и \(A_1N\) равен \(90^\circ\), то есть эти прямые перпендикулярны.
Ответ: прямые \(MO\) и \(A_1N\) перпендикулярны.
Рёбра \(AB\), \(AD\) и \(AA_1\) прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) относятся как \(3 : 1 : 2\), а его рёбра \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\) попарно перпендикулярны. Введём систему координат с началом в точке \(B\), осями \(x\), \(y\) и \(z\), направленными по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\), и единичным отрезком, равным ребру \(AD\). Тогда \(BA = 3\), \(BC = AD = 1\), \(BB_1 = AA_1 = 2\), и \(A(3; 0; 0)\), \(A_1(3; 0; 2)\), \(C(0; 1; 0)\), \(D_1(3; 1; 2)\).
Точка \(M\) лежит на ребре \(AB\), и \(AM : MB = 1 : 2\), поэтому \(BM = \frac{2}{3}BA = 2\) и \(M(2; 0; 0)\). Точка \(N\) лежит на ребре \(BC\), и \(BN : NC = 1 : 1\), то есть \(N\) — середина ребра \(BC\): \(N\left(0; \frac{1}{2}; 0\right)\). Точка \(O\) — центр прямоугольника \(CC_1D_1D\), то есть середина его диагонали \(CD_1\). Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов, поэтому \(O\left(\frac{0 + 3}{2}; \frac{1 + 1}{2}; \frac{0 + 2}{2}\right)\), то есть \(O\left(\frac{3}{2}; 1; 1\right)\).
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала, поэтому \(\overrightarrow{MO}\left(\frac{3}{2} - 2; 1 - 0; 1 - 0\right)\), то есть \(\overrightarrow{MO}\left(-\frac{1}{2}; 1; 1\right)\), и \(\overrightarrow{A_1N}\left(0 - 3; \frac{1}{2} - 0; 0 - 2\right)\), то есть \(\overrightarrow{A_1N}\left(-3; \frac{1}{2}; -2\right)\).
По формуле скалярного произведения векторов, заданных координатами, \(\overrightarrow{MO} \cdot \overrightarrow{A_1N} = -\frac{1}{2} \cdot (-3) + 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot (-2) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2 = 0\).
Векторы \(\overrightarrow{MO}\) и \(\overrightarrow{A_1N}\) ненулевые, а скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Значит, угол между векторами \(\overrightarrow{MO}\) и \(\overrightarrow{A_1N}\) равен \(90^\circ\). Угол между прямыми равен углу между векторами, лежащими на этих прямых, если этот угол не больше \(90^\circ\), поэтому угол между прямыми \(MO\) и \(A_1N\) равен \(90^\circ\), то есть эти прямые перпендикулярны.
Ответ: прямые \(MO\) и \(A_1N\) перпендикулярны.
