Страница 50 номер 5.27, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Докажите, что треугольник с вершинами в точках \(A(1; 0; 2)\), \(B(-2; 4; 2)\) и \(C(3; 1; 0)\) является тупоугольным.
Угол \(A\) треугольника \(ABC\) равен углу между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), отложенными от точки \(A\).
\(\overrightarrow{AB}(-2 - 1; 4 - 0; 2 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-3; 4; 0)\); \(\overrightarrow{AC}(3 - 1; 1 - 0; 0 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{AC}(2; 1; -2)\). Оба вектора ненулевые, поэтому \[\begin{aligned} &\cos A = \frac{(-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2)}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = {} \\ &= \frac{-2}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{9}} = -\frac{2}{15}. \end{aligned}\] Косинус угла \(A\) отрицателен, поэтому угол \(A\) тупой. Значит, треугольник \(ABC\) тупоугольный.
Ответ: угол \(A\) треугольника \(ABC\) тупой, поэтому треугольник \(ABC\) тупоугольный.
Докажите, что треугольник с вершинами в точках \(A(1; 0; 2)\), \(B(-2; 4; 2)\) и \(C(3; 1; 0)\) является тупоугольным.
Угол \(A\) треугольника \(ABC\) равен углу между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), отложенными от точки \(A\). Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AB}(-2 - 1; 4 - 0; 2 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-3; 4; 0)\); \(\overrightarrow{AC}(3 - 1; 1 - 0; 0 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{AC}(2; 1; -2)\). Оба вектора ненулевые, поэтому по формуле косинуса угла между ненулевыми векторами, заданными координатами, \[\begin{aligned} &\cos A = \frac{(-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 + 0 \cdot (-2)}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} \cdot \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = {} \\ &= \frac{-2}{\sqrt{25} \cdot \sqrt{9}} = -\frac{2}{15}. \end{aligned}\] Косинус угла \(A\) отрицателен, поэтому угол \(A\) тупой. Значит, треугольник \(ABC\) тупоугольный.
Ответ: угол \(A\) треугольника \(ABC\) тупой, поэтому треугольник \(ABC\) тупоугольный.
