Страница 49 номер 5.26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Каким треугольником — остроугольным, прямоугольным или тупоугольным — является треугольник с вершинами в точках \(A(0; 1; 2)\), \(B(-2; -1; 0)\) и \(C(1; 0; 1)\)?
Каждый угол треугольника \(ABC\) равен углу между векторами, отложенными от его вершины по сторонам: угол \(A\) — углу между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), угол \(B\) — между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\), угол \(C\) — между \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\). Векторы сторон треугольника ненулевые, а модули ненулевых векторов положительны, поэтому косинус угла между ними имеет тот же знак, что и их скалярное произведение: угол треугольника острый, если скалярное произведение положительно.
\(\overrightarrow{AB}(-2 - 0; -1 - 1; 0 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-2; -2; -2)\); \(\overrightarrow{AC}(1 - 0; 0 - 1; 1 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{AC}(1; -1; -1)\); \(\overrightarrow{BC}(1 - (-2); 0 - (-1); 1 - 0)\), то есть \(\overrightarrow{BC}(3; 1; 1)\). Противоположные векторы имеют противоположные координаты: \(\overrightarrow{BA}(2; 2; 2)\), \(\overrightarrow{CA}(-1; 1; 1)\), \(\overrightarrow{CB}(-3; -1; -1)\). \[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = 2; \\ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 10; \\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= (-1) \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 1. \end{aligned}\] Все три скалярных произведения положительны, поэтому косинусы всех трёх углов треугольника положительны и все его углы острые.
Ответ: треугольник \(ABC\) остроугольный.
Каким треугольником — остроугольным, прямоугольным или тупоугольным — является треугольник с вершинами в точках \(A(0; 1; 2)\), \(B(-2; -1; 0)\) и \(C(1; 0; 1)\)?
Каждый угол треугольника \(ABC\) равен углу между векторами, отложенными от его вершины по сторонам: угол \(A\) — углу между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), угол \(B\) — между \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\), угол \(C\) — между \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\). Векторы сторон треугольника ненулевые, а модули ненулевых векторов положительны, поэтому косинус угла между ними имеет тот же знак, что и их скалярное произведение: угол треугольника острый, если скалярное произведение положительно.
Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AB}(-2 - 0; -1 - 1; 0 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-2; -2; -2)\); \(\overrightarrow{AC}(1 - 0; 0 - 1; 1 - 2)\), то есть \(\overrightarrow{AC}(1; -1; -1)\); \(\overrightarrow{BC}(1 - (-2); 0 - (-1); 1 - 0)\), то есть \(\overrightarrow{BC}(3; 1; 1)\). Противоположные векторы имеют противоположные координаты: \(\overrightarrow{BA}(2; 2; 2)\), \(\overrightarrow{CA}(-1; 1; 1)\), \(\overrightarrow{CB}(-3; -1; -1)\). По формуле скалярного произведения векторов, заданных координатами, \[\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= (-2) \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = 2; \\ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} &= 2 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 10; \\ \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} &= (-1) \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = 1. \end{aligned}\] Все три скалярных произведения положительны, поэтому косинусы всех трёх углов треугольника положительны и все его углы острые.
Ответ: треугольник \(ABC\) остроугольный.
