Страница 49 номер 5.25, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Вершинами треугольника являются точки \(A(1; 0; 1)\), \(B(-5; 4; 3)\) и \(C(0; 3; -1)\). Найдите угол \(A\) треугольника.
Угол \(A\) треугольника \(ABC\) равен углу между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), отложенными от точки \(A\).
\(\overrightarrow{AB}(-5 - 1; 4 - 0; 3 - 1)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-6; 4; 2)\); \(\overrightarrow{AC}(0 - 1; 3 - 0; -1 - 1)\), то есть \(\overrightarrow{AC}(-1; 3; -2)\). Оба вектора ненулевые, поэтому \[\begin{aligned} &\cos A = \frac{(-6) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-2)}{\sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2}} = {} \\ &= \frac{14}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}. \end{aligned}\] Значит, \(\angle A = 60^\circ\).
Ответ: \(\angle A = 60^\circ\).
Вершинами треугольника являются точки \(A(1; 0; 1)\), \(B(-5; 4; 3)\) и \(C(0; 3; -1)\). Найдите угол \(A\) треугольника.
Угол \(A\) треугольника \(ABC\) равен углу между векторами \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AC}\), отложенными от точки \(A\). Координаты вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AB}(-5 - 1; 4 - 0; 3 - 1)\), то есть \(\overrightarrow{AB}(-6; 4; 2)\); \(\overrightarrow{AC}(0 - 1; 3 - 0; -1 - 1)\), то есть \(\overrightarrow{AC}(-1; 3; -2)\). Оба вектора ненулевые, поэтому по формуле косинуса угла между ненулевыми векторами, заданными координатами, \[\begin{aligned} &\cos A = \frac{(-6) \cdot (-1) + 4 \cdot 3 + 2 \cdot (-2)}{\sqrt{(-6)^2 + 4^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-2)^2}} = {} \\ &= \frac{14}{\sqrt{56} \cdot \sqrt{14}} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}. \end{aligned}\] Значит, \(\angle A = 60^\circ\).
Ответ: \(\angle A = 60^\circ\).
