Страница 49 номер 5.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля, поэтому \(\vec{m}^2 = 1\) и \(\vec{n}^2 = 3\). По определению скалярного произведения \(\vec{m} \cdot \vec{n} = 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}\). Тогда \[\begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= (\vec{m} - \vec{n}) \cdot (\vec{m} + 2\vec{n}) = \vec{m}^2 + \vec{m} \cdot \vec{n} - 2\vec{n}^2 = 1 + \frac{3}{2} - 6 = -\frac{7}{2}; \\ \vec{a}^2 &= (\vec{m} - \vec{n})^2 = \vec{m}^2 - 2\vec{m} \cdot \vec{n} + \vec{n}^2 = 1 - 3 + 3 = 1; \\ \vec{b}^2 &= (\vec{m} + 2\vec{n})^2 = \vec{m}^2 + 4\vec{m} \cdot \vec{n} + 4\vec{n}^2 = 1 + 6 + 12 = 19. \end{aligned}\] Отсюда \(|\vec{a}| = 1\) и \(|\vec{b}| = \sqrt{19}\), то есть векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ненулевые. Обозначим через \(\varphi\) угол между ними. Тогда \[\cos \varphi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{-\frac{7}{2}}{1 \cdot \sqrt{19}} = -\frac{7}{2\sqrt{19}} = -\frac{7\sqrt{19}}{38}.\] Так как \(-1 < \cos \varphi < 0\), угол \(\varphi\) тупой, а угол \(180^\circ - \varphi\) острый. Поскольку \(\cos(180^\circ - \varphi) = -\cos \varphi = \frac{7\sqrt{19}}{38}\), то \(180^\circ - \varphi = \arccos \frac{7\sqrt{19}}{38}\), откуда \(\varphi = 180^\circ - \arccos \frac{7\sqrt{19}}{38}\).

Ответ: \(\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 180^\circ - \arccos \frac{7\sqrt{19}}{38}\).