Страница 49 номер 5.19, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(MABCD\) — правильная пирамида
\(AB = MA = a\)

Найти: \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC}\).

Решение: Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат \(ABCD\), поэтому по правилу параллелограмма \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\).

Все рёбра пирамиды равны \(a\), поэтому её боковые грани \(MAB\) и \(MAD\) — равносторонние треугольники и \(\angle MAB = \angle MAD = 60^\circ\). Угол между векторами \(\overrightarrow{AM}\) и \(\overrightarrow{AB}\), отложенными от точки \(A\), — это угол \(MAB\), поэтому \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{a^2}{2}\); так же \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AD} = \frac{a^2}{2}\). Тогда \[\begin{aligned} &\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AM} \cdot (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = {} \\ &= \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AD} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2. \end{aligned}\]

Ответ: \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AC} = a^2\).