Страница 49 номер 5.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Найдите скалярное произведение \((2\vec{a} - 3\vec{b})(\vec{a} - 2\vec{b})\), если \(\vec{a}(2; -1; -2)\), \(\vec{b}(4; -3; 2)\).
Векторы \(2\vec{a}\) и \(3\vec{b}\) имеют координаты \((4; -2; -4)\) и \((12; -9; 6)\), поэтому вектор \(2\vec{a} - 3\vec{b}\) имеет координаты \((4 - 12; -2 - (-9); -4 - 6)\), то есть \((-8; 7; -10)\). Вектор \(2\vec{b}\) имеет координаты \((8; -6; 4)\), поэтому вектор \(\vec{a} - 2\vec{b}\) имеет координаты \((2 - 8; -1 - (-6); -2 - 4)\), то есть \((-6; 5; -6)\). \[\begin{aligned} &(2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = (-8) \cdot (-6) + 7 \cdot 5 + (-10) \cdot (-6) = {} \\ &= 48 + 35 + 60 = 143. \end{aligned}\]
Ответ: \((2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 143\).
Найдите скалярное произведение \((2\vec{a} - 3\vec{b})(\vec{a} - 2\vec{b})\), если \(\vec{a}(2; -1; -2)\), \(\vec{b}(4; -3; 2)\).
При умножении вектора на число каждая его координата умножается на это число, а каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат. Векторы \(2\vec{a}\) и \(3\vec{b}\) имеют координаты \((4; -2; -4)\) и \((12; -9; 6)\), поэтому вектор \(2\vec{a} - 3\vec{b}\) имеет координаты \((4 - 12; -2 - (-9); -4 - 6)\), то есть \((-8; 7; -10)\). Вектор \(2\vec{b}\) имеет координаты \((8; -6; 4)\), поэтому вектор \(\vec{a} - 2\vec{b}\) имеет координаты \((2 - 8; -1 - (-6); -2 - 4)\), то есть \((-6; 5; -6)\). По формуле скалярного произведения векторов, заданных координатами, \[\begin{aligned} &(2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = (-8) \cdot (-6) + 7 \cdot 5 + (-10) \cdot (-6) = {} \\ &= 48 + 35 + 60 = 143. \end{aligned}\]
Ответ: \((2\vec{a} - 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = 143\).
