Страница 49 номер 5.18, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — правильный тетраэдр
\(AB = a\)
\(M\) — середина \(AB\)

Найти: \(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}\).

Решение: Все рёбра правильного тетраэдра равны \(a\), а его грани — равносторонние треугольники. Поэтому угол между двумя векторами, отложенными от одной вершины тетраэдра по его рёбрам, — угол равностороннего треугольника, то есть \(60^\circ\), а скалярное произведение таких векторов равно \(a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{a^2}{2}\).

1) Для середины \(M\) отрезка \(AB\) и любой точки \(X\) выполняется равенство \(\overrightarrow{XM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{XA} + \overrightarrow{XB})\); при \(X = C\) получаем \(\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})\). Векторы \(\overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{CD}\) противоположны. Тогда \[\begin{aligned} &\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = -\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB}) \cdot \overrightarrow{CD} = {} \\ &= -\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB} \cdot \overrightarrow{CD}) = -\frac{1}{2}\left(\frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2}\right) = -\frac{a^2}{2}. \end{aligned}\]

2) По правилу нахождения разности двух векторов, отложенных от одной точки, \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DA}\). Векторы \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DC}\) противоположны. Тогда \[\begin{aligned} &\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = -(\overrightarrow{DB} - \overrightarrow{DA}) \cdot \overrightarrow{DC} = {} \\ &= -(\overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DC}) = -\left(\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2}\right) = 0. \end{aligned}\]

Ответ: 1) \(\overrightarrow{CM} \cdot \overrightarrow{DC} = -\frac{a^2}{2}\); 2) \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0\).