Страница 135 номер 14.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(DABC\) — правильная пирамида
\(R = 25\) см — радиус описанного шара
расстояние от центра шара до плоскости \(ABC\) равно 7 см

Найти: \(DA\).

Решение: Пусть \(DO_1\) — высота пирамиды, \(O\) — центр шара. Пирамида правильная, поэтому \(O_1\) — центр правильного треугольника \(ABC\), то есть центр описанной около него окружности. Центр \(O\) равноудалён от вершин \(A\), \(B\), \(C\), поэтому лежит на прямой, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через \(O_1\), — на прямой \(DO_1\), и расстояние от \(O\) до плоскости основания равно \(OO_1 = 7\) см. Треугольник \(OO_1A\) прямоугольный (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)), \(OA = R\): \(O_1A = \sqrt{OA^2 - OO_1^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\) (см).

Точки \(D\), \(O\), \(O_1\) лежат на одной прямой, \(OD = R = 25\) см, \(OO_1 = 7\) см. Точка \(D\) не может лежать между \(O\) и \(O_1\), так как \(OD > OO_1\). Остаются два случая.

Первый случай: центр \(O\) лежит между \(D\) и \(O_1\), то есть на высоте внутри пирамиды. Тогда \(DO_1 = DO + OO_1 = 25 + 7 = 32\) (см), и из прямоугольного треугольника \(DO_1A\): \(DA = \sqrt{DO_1^2 + O_1A^2} = \sqrt{1024 + 576} = \sqrt{1600} = 40\) (см).

Второй случай: точка \(O_1\) лежит между \(D\) и \(O\), то есть центр шара лежит на продолжении высоты за основание, вне пирамиды. Тогда \(DO_1 = DO - OO_1 = 25 - 7 = 18\) (см), и \(DA = \sqrt{DO_1^2 + O_1A^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30\) (см).

Оба случая возможны: радиус сферы, описанной около треугольной пирамиды, каждое боковое ребро которой равно \(b\), а высота равна \(h\), равен \(\frac{b^2}{2h}\), и \(\frac{40^2}{2 \cdot 32} = \frac{1600}{64} = 25\), \(\frac{30^2}{2 \cdot 18} = \frac{900}{36} = 25\).

Ответ: 40 см или 30 см.