Страница 124 номер 13.13, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Чему равен радиус сферы, касающейся плоскостей \(y = -4\) и \(y = 10\)?
Пусть \(O(a; b; c)\) — центр сферы, \(r\) — её радиус. Плоскость касается сферы, то есть имеет с ней только одну общую точку, тогда и только тогда, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу.
По формуле расстояния от точки до плоскости расстояние от точки \(O\) до плоскости \(y + 4 = 0\) равно \(\frac{|b + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = |b + 4|\), а до плоскости \(y - 10 = 0\) равно \(|b - 10|\). Сфера касается обеих плоскостей, поэтому \(|b + 4| = r\) и \(|b - 10| = r\), откуда \(|b + 4| = |b - 10|\). Равенство \(b + 4 = b - 10\) невозможно, так как \(4 \ne -10\); значит, \(b + 4 = -(b - 10)\):
\[\begin{aligned} b + 4 &= -b + 10; \\ 2b &= 6; \qquad | : 2 \\ b &= 3. \end{aligned}\]
Тогда \(r = |3 + 4| = 7\).
Ответ: 7.
Чему равен радиус сферы, касающейся плоскостей \(y = -4\) и \(y = 10\)?
Пусть \(O(a; b; c)\) — центр сферы, \(r\) — её радиус. Плоскость касается сферы, то есть имеет с ней только одну общую точку, тогда и только тогда, когда расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу: при большем расстоянии общих точек нет, а при меньшем сечением является окружность.
По формуле расстояния от точки до плоскости расстояние от точки \(O\) до плоскости \(y + 4 = 0\) равно \(\frac{|b + 4|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2}} = |b + 4|\), а до плоскости \(y - 10 = 0\) равно \(|b - 10|\). Сфера касается обеих плоскостей, поэтому \(|b + 4| = r\) и \(|b - 10| = r\), откуда \(|b + 4| = |b - 10|\). Равенство \(b + 4 = b - 10\) невозможно, так как \(4 \ne -10\); значит, \(b + 4 = -(b - 10)\):
\[\begin{aligned} b + 4 &= -b + 10; \\ 2b &= 6; \qquad | : 2 \\ b &= 3. \end{aligned}\]
Тогда \(r = |3 + 4| = 7\).
Ответ: 7.
