Страница 115 номер 12.26, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень

Дано:
\(ABCD\) — равнобокая трапеция, \(AD \parallel BC\)
\(AD = 8\) см, \(BC = 6\) см
\(BH = 7\) см — высота трапеции

Найти: длину окружности, описанной около трапеции.

Решение: В равнобокой трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований: \(AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1\) (см). Тогда \(HD = AD - AH = 8 - 1 = 7\) (см).

Из прямоугольных треугольников \(ABH\) и \(DBH\): \[\begin{aligned} AB &= \sqrt{AH^2 + BH^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ (см)}; \\ BD &= \sqrt{BH^2 + HD^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \text{ (см)}. \end{aligned}\] В прямоугольном треугольнике \(ABH\) синус угла \(A\) равен \(\frac{BH}{AB} = \frac{7}{5\sqrt{2}}\).

Окружность, описанная около трапеции, проходит через точки \(A\), \(B\) и \(D\), поэтому она описана и около треугольника \(ABD\); пусть \(R\) — её радиус. По теореме синусов \(\frac{BD}{\sin A} = 2R\), откуда \[\begin{aligned} &R = \frac{BD}{2\sin A} = \frac{7\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{7}{5\sqrt{2}}} = {} \\ &= \frac{7\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}}{14} = \frac{70}{14} = 5 \text{ (см)}. \end{aligned}\] Длина окружности равна \(2\pi R = 2\pi \cdot 5 = 10\pi\) (см).

Ответ: \(10\pi\) см.