Страница 115 номер 12.22, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Центром сферы является точка пересечения диагоналей куба. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до точки сферы не зависит от выбора этой точки.
Пусть ребро куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) равно \(a\), \(O\) — точка пересечения его диагоналей, \(r\) — радиус сферы. Введём систему координат с началом в точке \(B\) и осями \(x\), \(y\) и \(z\), направленными по лучам \(BA\), \(BC\) и \(BB_1\). Тогда \(A(a; 0; 0)\), \(B(0; 0; 0)\), \(C(0; a; 0)\), \(D(a; a; 0)\), \(A_1(a; 0; a)\), \(B_1(0; 0; a)\), \(C_1(0; a; a)\), \(D_1(a; a; a)\). Диагонали куба пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, поэтому \(O\) — середина диагонали \(BD_1\), то есть \(O\left(\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; \frac{a}{2}\right)\). Уравнение сферы: \[\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{a}{2}\right)^2 = r^2.\]
Пусть \(X(x; y; z)\) — произвольная точка сферы, \(S\) — сумма квадратов расстояний от неё до вершин куба. Квадраты расстояний от точки \(X\) до вершин: \[\begin{aligned} XA^2 &= (x - a)^2 + y^2 + z^2; \\ XB^2 &= x^2 + y^2 + z^2; \\ XC^2 &= x^2 + (y - a)^2 + z^2; \\ XD^2 &= (x - a)^2 + (y - a)^2 + z^2; \\ XA_1^2 &= (x - a)^2 + y^2 + (z - a)^2; \\ XB_1^2 &= x^2 + y^2 + (z - a)^2; \\ XC_1^2 &= x^2 + (y - a)^2 + (z - a)^2; \\ XD_1^2 &= (x - a)^2 + (y - a)^2 + (z - a)^2. \end{aligned}\] В сумме этих восьми выражений каждое из слагаемых \(x^2\), \((x - a)^2\), \(y^2\), \((y - a)^2\), \(z^2\), \((z - a)^2\) встречается четыре раза: \[S = 4\left(x^2 + (x - a)^2\right) + 4\left(y^2 + (y - a)^2\right) + 4\left(z^2 + (z - a)^2\right).\] Первое слагаемое равно \(4\left(x^2 + (x - a)^2\right) = 8x^2 - 8ax + 4a^2 = 8\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + 2a^2\); так же преобразуются второе и третье слагаемые. Точка \(X\) лежит на сфере, поэтому \[\begin{aligned} S &= 8\left(\left(x - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(z - \frac{a}{2}\right)^2\right) + 6a^2 = {} \\ &= 8r^2 + 6a^2. \end{aligned}\] Сумма \(S = 8r^2 + 6a^2\) определяется только ребром куба и радиусом сферы, то есть не зависит от выбора точки \(X\) на сфере.
Ответ: сумма квадратов расстояний от вершин куба до любой точки сферы равна \(8r^2 + 6a^2\), где \(a\) — ребро куба, \(r\) — радиус сферы, поэтому она не зависит от выбора точки на сфере.
