Страница 123 номер 13.3, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Будем считать Землю шаром с центром \(O\) и радиусом \(R = 6400\) км. Земная ось проходит через центр \(O\) перпендикулярно плоскости параллели, поэтому основание \(O_1\) перпендикуляра, опущенного из точки \(O\) на эту плоскость, лежит на оси. Центр окружности, по которой плоскость пересекает сферу, — основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на эту плоскость, поэтому \(O_1\) — центр параллели.
Пусть \(A\) — точка параллели, отличной от экватора, \(E\) — точка экватора, лежащая на одном меридиане с точкой \(A\), то есть в одной плоскости с земной осью и точкой \(A\). Широта \(\varphi\) точки \(A\) — угол \(AOE\). Прямые \(O_1A\) и \(OE\) лежат в плоскости меридиана и перпендикулярны земной оси, поэтому они параллельны, и \(\angle OAO_1 = \angle AOE = \varphi\) как накрест лежащие углы. Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\) (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)): \(O_1A = OA\cos\varphi = R\cos\varphi\). Значит, длина параллели с широтой \(\varphi\) равна \(2\pi R\cos\varphi\); это верно и для экватора: его радиус равен \(R = R\cos 0^\circ\).
1) Большая окружность сферы получается в сечении плоскостью, проходящей через центр сферы. Плоскость любой параллели перпендикулярна земной оси, а через центр \(O\) проходит только одна плоскость, перпендикулярная оси, — плоскость экватора. Значит, большой окружностью земного шара является только экватор.
2) Полярный круг — параллель с широтой \(\varphi \approx 66^\circ 33'\) (из географии), \(\cos 66^\circ 33' \approx 0{,}398\). Длина полярного круга: \[2\pi R\cos\varphi \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6400 \cdot 0{,}398 \approx 16\,000 \text{ (км)}.\]
3) За сутки Земля совершает один оборот вокруг своей оси, и каждая точка её поверхности проходит свою параллель. Значит, населённый пункт с широтой \(\varphi\) за сутки проходит путь, равный длине своей параллели, — \(2\pi R\cos\varphi\). Например, для Москвы \(\varphi \approx 55^\circ 45'\), \(\cos 55^\circ 45' \approx 0{,}563\), и путь равен \[2\pi R\cos\varphi \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6400 \cdot 0{,}563 \approx 22\,600 \text{ (км)}.\]
Ответ: 1) экватор; 2) около \(16\,000\) км; 3) \(2\pi R\cos\varphi\), где \(\varphi\) — широта населённого пункта (для Москвы — около \(22\,600\) км).
Будем считать Землю шаром с центром \(O\) и радиусом \(R = 6400\) км. Параллель — окружность, по которой поверхность Земли пересекает плоскость, перпендикулярную земной оси. Земная ось проходит через центр \(O\) перпендикулярно плоскости параллели, поэтому основание \(O_1\) перпендикуляра, опущенного из точки \(O\) на эту плоскость, лежит на оси. Центр окружности, по которой плоскость пересекает сферу, — основание перпендикуляра, опущенного из центра сферы на эту плоскость, поэтому \(O_1\) — центр параллели.
Пусть \(A\) — точка параллели, отличной от экватора, \(E\) — точка экватора, лежащая на одном меридиане с точкой \(A\), то есть в одной плоскости с земной осью и точкой \(A\). Широта \(\varphi\) точки \(A\) — угол \(AOE\). Прямые \(O_1A\) и \(OE\) лежат в плоскости меридиана и перпендикулярны земной оси, поэтому они параллельны, и \(\angle OAO_1 = \angle AOE = \varphi\) как накрест лежащие углы. Из прямоугольного треугольника \(OO_1A\) (\(\angle OO_1A = 90^\circ\)): \(O_1A = OA\cos\varphi = R\cos\varphi\). Значит, длина параллели с широтой \(\varphi\) равна \(2\pi R\cos\varphi\); это верно и для экватора: его радиус равен \(R = R\cos 0^\circ\).
1) Большая окружность сферы получается в сечении плоскостью, проходящей через центр сферы. Плоскость любой параллели перпендикулярна земной оси, а через центр \(O\) проходит только одна плоскость, перпендикулярная оси, — плоскость экватора. Значит, большой окружностью земного шара является только экватор.
2) Полярный круг — параллель с широтой \(\varphi \approx 66^\circ 33'\) (из географии), \(\cos 66^\circ 33' \approx 0{,}398\). Длина полярного круга: \[2\pi R\cos\varphi \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6400 \cdot 0{,}398 \approx 16\,000 \text{ (км)}.\]
3) За сутки Земля совершает один оборот вокруг своей оси, и каждая точка её поверхности проходит свою параллель. Значит, населённый пункт с широтой \(\varphi\) за сутки проходит путь, равный длине своей параллели, — \(2\pi R\cos\varphi\). Например, для Москвы \(\varphi \approx 55^\circ 45'\), \(\cos 55^\circ 45' \approx 0{,}563\), и путь равен \[2\pi R\cos\varphi \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 6400 \cdot 0{,}563 \approx 22\,600 \text{ (км)}.\]
Ответ: 1) экватор; 2) около \(16\,000\) км; 3) \(2\pi R\cos\varphi\), где \(\varphi\) — широта населённого пункта (для Москвы — около \(22\,600\) км).
