Страница 115 номер 12.21, ГДЗ по геометрии за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень
Даны тетраэдр и некоторое положительное число. Найдите геометрическое место точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от точки до вершин данного тетраэдра равна заданному числу.
Пусть \(DABC\) — данный тетраэдр, \(k\) — данное положительное число, \(M\) — центроид тетраэдра. Центроид — точка пересечения медиан тетраэдра (отрезков, соединяющих его вершины с точками пересечения медиан противолежащих граней); он делит каждую медиану в отношении \(3 : 1\), считая от вершины. Например, если \(F\) — точка пересечения медиан грани \(ABC\), то \(M\) лежит на отрезке \(DF\) и \(DM : MF = 3 : 1\).
Для центроида \(M\) тетраэдра \(DABC\) и любой точки \(X\) пространства выполняется равенство
\[XA^2 + XB^2 + XC^2 + XD^2 = 4XM^2 + MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2.\]
Действительно, \(\overrightarrow{XA} = \overrightarrow{XM} + \overrightarrow{MA}\), поэтому \(XA^2 = XM^2 + 2\overrightarrow{XM} \cdot \overrightarrow{MA} + MA^2\), и так же для точек \(B\), \(C\), \(D\); при сложении четырёх таких равенств слагаемые со скалярным произведением дают \(2\overrightarrow{XM} \cdot \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right) = 0\), так как для центроида тетраэдра \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} = \vec{0}\).
Обозначим \(s = MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2\): это число положительно и определяется только тетраэдром. Точка \(X\) принадлежит искомому геометрическому месту тогда и только тогда, когда \(4XM^2 + s = k\), то есть \(XM^2 = \frac{k - s}{4}\).
Если \(k < s\), то \(\frac{k - s}{4} < 0\), а \(XM^2 \geqslant 0\): таких точек нет, искомое множество пустое.
Если \(k = s\), то \(XM = 0\): искомое геометрическое место — одна точка \(M\), центроид тетраэдра.
Если \(k > s\), то \(XM = \frac{\sqrt{k - s}}{2}\), и по определению сферы искомое геометрическое место — сфера с центром \(M\) и радиусом \(\frac{\sqrt{k - s}}{2}\).
Ответ: если \(k < s\) — пустое множество; если \(k = s\) — центроид \(M\) тетраэдра; если \(k > s\) — сфера с центром в центроиде \(M\) и радиусом \(\frac{\sqrt{k - s}}{2}\) (здесь \(k\) — данное число, \(s = MA^2 + MB^2 + MC^2 + MD^2\)).
