Страница 141 номер 15.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями \(n\)-й степени из числа \(z\), если: 1) \(z = i\), \(n = 3\); 2) \(z = 1 + i\), \(n = 4\); 3) \(z = -i\), \(n = 6\).
1) \(z = i = \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\), \(n = 3\); угол \(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2\}\): \[\begin{aligned} \omega_0 &= \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, \\ \omega_1 &= \cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, \\ \omega_2 &= \cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2} = -i. \end{aligned}\] Корни лежат на окружности радиуса \(1\) с центром в начале координат и являются вершинами правильного треугольника.
2) \(z = 1 + i\), \(n = 4\);
\(|z| = \sqrt{2}\), поэтому
\[1 + i = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right).\]
Модуль корней \(\sqrt[4]{\sqrt{2}} = \sqrt[8]{2}\), угол \(\frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\):
\[\begin{aligned} \omega_0 &= \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\pi}{16} + i\sin \frac{\pi}{16}\right), \\ \omega_1 &= \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{9\pi}{16} + i\sin \frac{9\pi}{16}\right), \\ \omega_2 &= \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{16} + i\sin \frac{17\pi}{16}\right), \\ \omega_3 &= \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{25\pi}{16} + i\sin \frac{25\pi}{16}\right). \end{aligned}\]
Корни лежат на окружности радиуса \(\sqrt[8]{2}\) с центром в начале координат и являются вершинами квадрата.
3) \(z = -i = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\), \(n = 6\); угол \(\frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{6} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\): \[\begin{aligned} \omega_0 &= \cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right), \\ \omega_1 &= \cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ \omega_2 &= \cos \frac{7\pi}{12} + i\sin \frac{7\pi}{12}, \\ \omega_3 &= \cos \frac{11\pi}{12} + i\sin \frac{11\pi}{12}, \\ \omega_4 &= \cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ \omega_5 &= \cos \frac{19\pi}{12} + i\sin \frac{19\pi}{12}. \end{aligned}\] Корни лежат на окружности радиуса \(1\) с центром в начале координат и являются вершинами правильного шестиугольника.
Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\); \(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\); \(-i\); 2) \(\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\pi}{16} + i\sin \frac{\pi}{16}\right)\); \(\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{9\pi}{16} + i\sin \frac{9\pi}{16}\right)\); \(\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{16} + i\sin \frac{17\pi}{16}\right)\); \(\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{25\pi}{16} + i\sin \frac{25\pi}{16}\right)\); 3) \(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\); \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(\cos \frac{7\pi}{12} + i\sin \frac{7\pi}{12}\); \(\cos \frac{11\pi}{12} + i\sin \frac{11\pi}{12}\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(\cos \frac{19\pi}{12} + i\sin \frac{19\pi}{12}\).
Изобразите на комплексной плоскости числа, являющиеся корнями \(n\)-й степени из числа \(z\), если: 1) \(z = i\), \(n = 3\); 2) \(z = 1 + i\), \(n = 4\); 3) \(z = -i\), \(n = 6\).
Корни \(n\)-й степени из числа \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\), \(z \ne 0\), находим по формуле корней \(n\)-й степени, где \(k \in \{0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1\}\): \[\omega_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right).\] Модули всех корней равны \(\sqrt[n]{r}\), а аргументы соседних корней отличаются на \(\frac{2\pi}{n}\). Поэтому на комплексной плоскости корни лежат на окружности радиуса \(\sqrt[n]{r}\) с центром в начале координат и делят её на \(n\) равных частей, т. е. являются вершинами правильного \(n\)-угольника.
1) \(z = i = \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\), \(n = 3\). Здесь \(r = 1\), угол \(\frac{\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2\}\): \[\begin{aligned} \omega_0 &= \cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, \\ \omega_1 &= \cos \frac{5\pi}{6} + i\sin \frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i, \\ \omega_2 &= \cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2} = -i. \end{aligned}\] Изобразим корни на комплексной плоскости: они лежат на окружности радиуса \(1\) с центром в начале координат (на ней лежит и само число \(i\)) и являются вершинами правильного треугольника.
2) \(z = 1 + i\), \(n = 4\). \(|z| = \sqrt{2}\), поэтому \[1 + i = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right).\] Модуль корней \(\sqrt[4]{\sqrt{2}} = \sqrt[8]{2}\), угол \(\frac{\frac{\pi}{4} + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\): \[\begin{aligned} \omega_0 &= \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\pi}{16} + i\sin \frac{\pi}{16}\right), \\ \omega_1 &= \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{9\pi}{16} + i\sin \frac{9\pi}{16}\right), \\ \omega_2 &= \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{16} + i\sin \frac{17\pi}{16}\right), \\ \omega_3 &= \sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{25\pi}{16} + i\sin \frac{25\pi}{16}\right). \end{aligned}\] Изобразим корни на комплексной плоскости: они лежат на окружности радиуса \(\sqrt[8]{2}\) с центром в начале координат и являются вершинами квадрата.
3) \(z = -i = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\), \(n = 6\). Здесь \(r = 1\), угол \(\frac{-\frac{\pi}{2} + 2\pi k}{6} = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}\): \[\begin{aligned} \omega_0 &= \cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right), \\ \omega_1 &= \cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ \omega_2 &= \cos \frac{7\pi}{12} + i\sin \frac{7\pi}{12}, \\ \omega_3 &= \cos \frac{11\pi}{12} + i\sin \frac{11\pi}{12}, \\ \omega_4 &= \cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ \omega_5 &= \cos \frac{19\pi}{12} + i\sin \frac{19\pi}{12}. \end{aligned}\] Изобразим корни на комплексной плоскости: они лежат на окружности радиуса \(1\) с центром в начале координат (на ней лежит и само число \(-i\)) и являются вершинами правильного шестиугольника.
Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\); \(-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\); \(-i\); 2) \(\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{\pi}{16} + i\sin \frac{\pi}{16}\right)\); \(\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{9\pi}{16} + i\sin \frac{9\pi}{16}\right)\); \(\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{17\pi}{16} + i\sin \frac{17\pi}{16}\right)\); \(\sqrt[8]{2}\left(\cos \frac{25\pi}{16} + i\sin \frac{25\pi}{16}\right)\); 3) \(\cos\left(-\frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{12}\right)\); \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(\cos \frac{7\pi}{12} + i\sin \frac{7\pi}{12}\); \(\cos \frac{11\pi}{12} + i\sin \frac{11\pi}{12}\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(\cos \frac{19\pi}{12} + i\sin \frac{19\pi}{12}\).
