Страница 146 номер 15.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
На доске записаны функции \(y = x + \frac{1}{x}\) и \(y = x^2\); к записанным функциям \(f\) и \(g\) разрешено дописать любую из функций \(y = f^2(x)\), \(y = f(x) + g(x)\), \(y = f(x)g(x)\), \(y = cf(x)\), где \(c\) — действительное число. Покажем, что функция \(y = \frac{1}{x}\) на доске появиться не может.
Каждую функцию на доске можно записать в виде \(\frac{P(x)}{x^m}\), где \(P(x)\) — многочлен с действительными коэффициентами, \(m\) — целое неотрицательное число: \(x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}\), функция \(y = x^2\) — многочлен (запись с \(m = 0\)), и если \(f(x) = \frac{P(x)}{x^m}\), \(g(x) = \frac{Q(x)}{x^n}\), то \[\begin{aligned} f^2(x) &= \frac{P^2(x)}{x^{2m}}; \\ f(x) + g(x) &= \frac{P(x)x^n + Q(x)x^m}{x^{m + n}}; \\ f(x)g(x) &= \frac{P(x)Q(x)}{x^{m + n}}; \\ cf(x) &= \frac{cP(x)}{x^m}. \end{aligned}\]
При \(x = i\) записи исходных функций равны действительным числам: \(\frac{i^2 + 1}{i} = 0\) и \(i^2 = -1\). Если при \(x = i\) записи функций \(f\) и \(g\) равны действительным числам \(u\) и \(v\), то записи функций \(f^2\), \(f + g\), \(fg\), \(cf\) при \(x = i\) равны \(u^2\), \(u + v\), \(uv\), \(cu\) (формулы для них — тождества дробей, они верны и при \(x = i\)), то есть тоже действительным числам, так как \(c\) — действительное число. Значит, у каждой функции на доске запись при \(x = i\) равна действительному числу.
Предположим, что на доске появилась функция \(y = \frac{1}{x}\) и \(\frac{P(x)}{x^m}\) — её запись. Тогда \(\frac{P(x)}{x^m} = \frac{1}{x}\), то есть \(xP(x) = x^m\), при всех действительных \(x \ne 0\). Многочлен \(xP(x) - x^m\) имеет бесконечно много корней, а у ненулевого многочлена корней не больше, чем его степень; значит, все коэффициенты многочлена \(xP(x) - x^m\) равны нулю, и равенство \(xP(x) = x^m\) верно при любом \(x\), в том числе комплексном. При \(x = i\) получаем \(iP(i) = i^m\), откуда \(\frac{P(i)}{i^m} = \frac{1}{i} = -i\) — это не действительное число. Противоречие.
Ответ: нет, не может.
На доске записаны функции \(y = x + \frac{1}{x}\) и \(y = x^2\); к записанным функциям \(f\) и \(g\) разрешено дописать любую из функций \(y = f^2(x)\), \(y = f(x) + g(x)\), \(y = f(x)g(x)\), \(y = cf(x)\), где \(c\) — действительное число. Покажем, что функция \(y = \frac{1}{x}\) на доске появиться не может.
Каждую функцию на доске можно записать в виде \(\frac{P(x)}{x^m}\), где \(P(x)\) — многочлен с действительными коэффициентами, \(m\) — целое неотрицательное число. Действительно, \(x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}\), функция \(y = x^2\) — многочлен (запись с \(m = 0\)), и если \(f(x) = \frac{P(x)}{x^m}\), \(g(x) = \frac{Q(x)}{x^n}\), то \[\begin{aligned} f^2(x) &= \frac{P^2(x)}{x^{2m}}; \\ f(x) + g(x) &= \frac{P(x)x^n + Q(x)x^m}{x^{m + n}}; \\ f(x)g(x) &= \frac{P(x)Q(x)}{x^{m + n}}; \\ cf(x) &= \frac{cP(x)}{x^m}. \end{aligned}\]
Подставим в запись каждой функции \(x = i\). У исходных функций получаются действительные числа: \(\frac{i^2 + 1}{i} = 0\) и \(i^2 = -1\). Если при \(x = i\) записи функций \(f\) и \(g\) равны действительным числам \(u\) и \(v\), то записи функций \(f^2\), \(f + g\), \(fg\), \(cf\) при \(x = i\) равны \(u^2\), \(u + v\), \(uv\), \(cu\) (равенства выше — тождества дробей, они верны и при \(x = i\)), то есть тоже действительным числам, так как \(c\) — действительное число. Значит, у каждой функции на доске запись при \(x = i\) равна действительному числу.
Предположим, что на доске появилась функция \(y = \frac{1}{x}\) и \(\frac{P(x)}{x^m}\) — её запись. Тогда \(\frac{P(x)}{x^m} = \frac{1}{x}\), т. е. \(xP(x) = x^m\), при всех действительных \(x \ne 0\). Многочлен \(xP(x) - x^m\) имеет бесконечно много корней, а у ненулевого многочлена корней не больше, чем его степень; значит, все коэффициенты многочлена \(xP(x) - x^m\) равны нулю, и равенство \(xP(x) = x^m\) верно при любом значении \(x\), в том числе комплексном. При \(x = i\) получаем \(iP(i) = i^m\), откуда \(\frac{P(i)}{i^m} = \frac{1}{i} = -i\) — это не действительное число. Противоречие.
Ответ: нет, не может.
