Страница 147 номер 15.29, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на прямой \(l\) в указанном порядке; \(ABD\) и \(ACN\) — равносторонние треугольники, построенные на отрезках \(AB\) и \(AC\) по разные стороны от прямой \(l\); \(K\) и \(L\) — середины отрезков \(DC\) и \(BN\). Докажем, что треугольник \(AKL\) равносторонний.

Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(A\) совпала с началом координат, прямая \(l\) — с действительной осью, точки \(B\) и \(C\) лежали на её положительной полуоси, а точка \(D\) — выше действительной оси (тогда точка \(N\) лежит ниже неё). Пусть \(b\) и \(c\) — комплексные координаты точек \(B\) и \(C\) (положительные действительные числа), \(z_K\) и \(z_L\) — комплексные координаты точек \(K\) и \(L\). Обозначим \(\varepsilon = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\); тогда \(\overline{\varepsilon} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\) и \(\varepsilon\overline{\varepsilon} = |\varepsilon|^2 = 1\).

Луч \(AB\) направлен по положительной полуоси, \(AD = AB\), \(\angle BAD = \frac{\pi}{3}\) и точка \(D\) лежит выше действительной оси, поэтому \(D\) — образ точки \(B\) при повороте с центром \(A\) на угол \(\frac{\pi}{3}\). Луч \(AC\) тоже направлен по положительной полуоси, \(AN = AC\), \(\angle CAN = \frac{\pi}{3}\) и точка \(N\) лежит ниже действительной оси, поэтому \(N\) — образ точки \(C\) при повороте с центром \(A\) на угол \(-\frac{\pi}{3}\). Значит, комплексные координаты точек \(D\) и \(N\) равны \(\varepsilon b\) и \(\overline{\varepsilon}c\), а середин отрезков \(DC\) и \(BN\) — \[\begin{aligned} z_K &= \frac{\varepsilon b + c}{2}; \\ z_L &= \frac{b + \overline{\varepsilon}c}{2}. \end{aligned}\] Имеем: \(\overline{\varepsilon}z_K = \frac{\overline{\varepsilon}\varepsilon b + \overline{\varepsilon}c}{2} = \frac{b + \overline{\varepsilon}c}{2} = z_L\).

Значит, точка \(L\) — образ точки \(K\) при повороте с центром \(A\) на угол \(-\frac{\pi}{3}\), причём \(K \ne A\): мнимая часть числа \(z_K\) равна \(\frac{b}{2}\sin \frac{\pi}{3} > 0\). Поэтому \(AL = AK\) и \(\angle KAL = 60^\circ\), а равнобедренный треугольник \(AKL\) с углом \(60^\circ\) при вершине — равносторонний.

Ответ: доказано: точка \(L\) — образ точки \(K\) при повороте с центром \(A\) на угол \(-60^\circ\), поэтому треугольник \(AKL\) равносторонний.