Страница 142 номер 15.14, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Пусть \(e_0,\ e_1,\ \ldots,\ e_{n - 1}\) — корни \(n\)-й степени из числа 1. Найдите сумму \(e_0 + e_1 + \ldots + e_{n - 1}\).
\(1 = \cos 0 + i\sin 0\), поэтому корни \(n\)-й степени из числа \(1\) (\(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\)): \[e_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i\sin \frac{2\pi k}{n},\ \text{где}\ k \in \{0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1\}.\] По формуле Муавра \(e_1^k = \left(\cos \frac{2\pi}{n} + i\sin \frac{2\pi}{n}\right)^k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i\sin \frac{2\pi k}{n} = e_k\) при \(k \geqslant 1\), а \(e_0 = 1\). Пусть \(S = e_0 + e_1 + \ldots + e_{n - 1}\), тогда \[\begin{aligned} S &= 1 + e_1 + e_1^2 + \ldots + e_1^{n - 1}; \qquad | \cdot e_1 \\ e_1S &= e_1 + e_1^2 + \ldots + e_1^{n - 1} + e_1^n. \end{aligned}\] Вычтем из второго равенства первое: \(e_1S - S = e_1^n - 1\), то есть \((e_1 - 1)S = e_1^n - 1\).
\(e_1^n = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1\), поэтому \((e_1 - 1)S = 0\).
Так как \(n > 1\), то \(0 < \frac{2\pi}{n} \leqslant \pi\), поэтому \(\cos \frac{2\pi}{n} < 1\) и \(e_1 \ne 1\). Число \(e_1 - 1\) отлично от нуля, следовательно, \(S = 0\).
Ответ: \(e_0 + e_1 + \ldots + e_{n - 1} = 0\).
Пусть \(e_0,\ e_1,\ \ldots,\ e_{n - 1}\) — корни \(n\)-й степени из числа 1. Найдите сумму \(e_0 + e_1 + \ldots + e_{n - 1}\).
Корни \(n\)-й степени из числа \(1 = \cos 0 + i\sin 0\) (\(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\)) находятся по формуле корней \(n\)-й степени при \(r = 1\), \(\varphi = 0\): \[e_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i\sin \frac{2\pi k}{n},\ \text{где}\ k \in \{0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1\}.\] По формуле Муавра \(e_1^k = \left(\cos \frac{2\pi}{n} + i\sin \frac{2\pi}{n}\right)^k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i\sin \frac{2\pi k}{n} = e_k\) при \(k \geqslant 1\), а \(e_0 = 1\). Обозначим искомую сумму \(e_0 + e_1 + \ldots + e_{n - 1}\) буквой \(S\). Тогда \[\begin{aligned} S &= 1 + e_1 + e_1^2 + \ldots + e_1^{n - 1}; \qquad | \cdot e_1 \\ e_1S &= e_1 + e_1^2 + \ldots + e_1^{n - 1} + e_1^n. \end{aligned}\] Вычтем из второго равенства первое: \(e_1S - S = e_1^n - 1\), т. е. \((e_1 - 1)S = e_1^n - 1\). По формуле Муавра \(e_1^n = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1\), поэтому \((e_1 - 1)S = 0\). Так как \(n > 1\), то \(0 < \frac{2\pi}{n} \leqslant \pi\), поэтому \(\cos \frac{2\pi}{n} < 1\) и \(e_1 \ne 1\). Число \(e_1 - 1\) отлично от нуля, следовательно, \(S = 0\).
Например, при \(n = 4\) корни — числа \(1\), \(i\), \(-1\), \(-i\), и их сумма \(1 + i - 1 - i = 0\).
Ответ: \(e_0 + e_1 + \ldots + e_{n - 1} = 0\).
