Страница 146 номер 15.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Рассмотрим комплексное число \((1 + i)^{51}\). По формуле бинома Ньютона \((a + b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n - 1}b + \ldots + C_n^n b^n\) можно записать: \[\begin{aligned} &(1 + i)^{51} = C_{51}^0 + C_{51}^1 i + C_{51}^2 i^2 + C_{51}^3 i^3 + \ldots + {} \\ &+ C_{51}^{50} i^{50} + C_{51}^{51} i^{51}. \end{aligned}\] Так как \(i^2 = -1\), то \(i^{2m} = (-1)^m\) и \(i^{2m + 1} = (-1)^m i\). Поэтому слагаемые с чётными степенями числа \(i\) — действительные числа \(C_{51}^0\), \(-C_{51}^2\), \(C_{51}^4\), \(-C_{51}^6\), …, \(C_{51}^{48}\), \(-C_{51}^{50}\) (знаки чередуются, \(i^{48} = 1\), \(i^{50} = -1\)), а слагаемые с нечётными степенями — чисто мнимые числа: \[\begin{aligned} &(1 + i)^{51} = \left(C_{51}^0 - C_{51}^2 + C_{51}^4 - \ldots + C_{51}^{48} - C_{51}^{50}\right) + {} \\ &+ \left(C_{51}^1 - C_{51}^3 + C_{51}^5 - \ldots + C_{51}^{49} - C_{51}^{51}\right)i. \end{aligned}\] Значит, левая часть доказываемого равенства — действительная часть числа \((1 + i)^{51}\).

Поскольку \(1 + i = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right)\) и \(\frac{51\pi}{4} = 12\pi + \frac{3\pi}{4}\), по формуле Муавра получаем: \[\begin{aligned} &(1 + i)^{51} = (\sqrt{2})^{51}\left(\cos \frac{51\pi}{4} + i\sin \frac{51\pi}{4}\right) = {} \\ &= 2^{25}\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}\right) = {} \\ &= 2^{25}\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = -2^{25} + 2^{25}i. \end{aligned}\] Действительная часть этого числа равна \(-2^{25}\), поэтому \(C_{51}^0 - C_{51}^2 + C_{51}^4 - C_{51}^6 + \ldots + C_{51}^{48} - C_{51}^{50} = -2^{25}\).

Ответ: равенство доказано: левая часть равна действительной части числа \((1 + i)^{51} = -2^{25} + 2^{25}i\), т. е. \(-2^{25}\).