Страница 134 номер 14.18, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
На комплексной плоскости изображён треугольник с вершинами \(A(z_{1})\), \(B(z_{2})\) и \(C(z_{3})\). Найдите комплексную координату точки пересечения медиан треугольника \(ABC\).
Пусть \(M(w)\) — середина стороны \(AB\), а \(G(z)\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\).
\(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), то есть \(w - z_1 = \frac{1}{2}(z_2 - z_1)\), откуда \(w = \frac{z_1 + z_2}{2}\).
\(CM\) — медиана треугольника; медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}\): \[\begin{aligned} z - z_3 &= \frac{2}{3}(w - z_3); \\ z &= z_3 + \frac{2}{3} \cdot \frac{z_1 + z_2}{2} - \frac{2}{3}z_3 = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\).
На комплексной плоскости изображён треугольник с вершинами \(A(z_{1})\), \(B(z_{2})\) и \(C(z_{3})\). Найдите комплексную координату точки пересечения медиан треугольника \(ABC\).
Пусть \(M(w)\) — середина стороны \(AB\), а \(G(z)\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC\). Вектор равен разности комплексных координат его конца и начала.
Так как \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\), то \(w - z_1 = \frac{1}{2}(z_2 - z_1)\), откуда \(w = \frac{z_1 + z_2}{2}\).
Отрезок \(CM\) — медиана треугольника. Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(CG = \frac{2}{3}CM\), и векторы \(\overrightarrow{CG}\) и \(\overrightarrow{CM}\) сонаправлены: \(\overrightarrow{CG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{CM}\). Получаем: \[\begin{aligned} z - z_3 &= \frac{2}{3}(w - z_3); \\ z &= z_3 + \frac{2}{3} \cdot \frac{z_1 + z_2}{2} - \frac{2}{3}z_3 = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}\).
