Страница 134 номер 14.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа; число \(z\) изображается точкой \((x;\ y)\) комплексной плоскости.
1) Условие \(1 < |z - 1 - i| < 3\);
\(|z - 1 - i| = |z - (1 + i)|\) — расстояние от точки \(z\) до точки \(1 + i\). Искомые точки лежат внутри круга радиуса \(3\) с центром в точке \(1 + i\) и вне круга радиуса \(1\) с тем же центром, то есть искомое множество — кольцо между окружностями \(|z - (1 + i)| = 1\) и \(|z - (1 + i)| = 3\); оба неравенства строгие, поэтому сами окружности в множество не входят.
2) Условию \(|z - 2i| = |z - 4|\) удовлетворяют точки, равноудалённые от точек \(2i\) и \(4\). Обе части равенства неотрицательны, поэтому оно равносильно равенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} &= \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 + y^2 - 4y + 4 &= x^2 - 8x + 16 + y^2; \\ 4y &= 8x - 12; \qquad | : 4 \\ y &= 2x - 3. \end{aligned}\] Искомое множество — серединный перпендикуляр отрезка с концами \(2i\) и \(4\), прямая \(y = 2x - 3\).
3) Условию \(|z - 2i| > |z - 4|\) удовлетворяют точки, которые находятся дальше от точки \(2i\), чем от точки \(4\). Обе части неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно неравенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} &> \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 + y^2 - 4y + 4 &> x^2 - 8x + 16 + y^2; \\ 4y &< 8x - 12; \qquad | : 4 \\ y &< 2x - 3. \end{aligned}\] Точка \(4\) этому неравенству удовлетворяет: \(0 < 2 \cdot 4 - 3\); неравенство строгое, поэтому граница — прямая \(y = 2x - 3\) — в множество не входит. Искомое множество — полуплоскость \(y < 2x - 3\), содержащая точку \(4\), без граничной прямой.
4) Условие \(|z| = \operatorname{Re} z\), то есть \(\sqrt{x^2 + y^2} = x\). Левая часть неотрицательна, поэтому равенство возможно только при \(x \geqslant 0\); при \(x \geqslant 0\) обе части неотрицательны, и равенство равносильно равенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + y^2} &= x; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 + y^2 &= x^2; \\ y &= 0. \end{aligned}\] Значит, \(z = x\), где \(x \geqslant 0\): искомое множество — луч действительной оси с началом в точке \(0\), направленный в сторону положительных чисел; точка \(0\) в множество входит.
5) Условие \(|z| \leqslant \operatorname{Im} z\), то есть \(\sqrt{x^2 + y^2} \leqslant y\). Левая часть неотрицательна, поэтому неравенство возможно только при \(y \geqslant 0\); при \(y \geqslant 0\) обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + y^2} &\leqslant y; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 + y^2 &\leqslant y^2; \\ x^2 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому \(x^2 \leqslant 0\) только при \(x = 0\). Значит, \(z = yi\), где \(y \geqslant 0\): искомое множество — луч мнимой оси с началом в точке \(0\), направленный вверх; точка \(0\) в множество входит.
6) Условие \(|z - 1| = \operatorname{Re} z\), то есть \(\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = x\). Левая часть неотрицательна, поэтому равенство возможно только при \(x \geqslant 0\); при \(x \geqslant 0\) обе части неотрицательны, и равенство равносильно равенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} &= x; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 &= x^2; \\ 2x &= y^2 + 1; \qquad | : 2 \\ x &= \frac{y^2 + 1}{2}. \end{aligned}\] При любом \(y\) получаем \(x = \frac{y^2 + 1}{2} \geqslant \frac{1}{2}\), поэтому условие \(x \geqslant 0\) выполняется во всех точках этой линии. Искомое множество — парабола \(x = \frac{y^2 + 1}{2}\) с вершиной в точке \(\frac{1}{2}\); её ось симметрии — действительная ось, ветви направлены в сторону положительных чисел.
Ответ: 1) кольцо между окружностями с центром в точке \(1 + i\) радиусов \(1\) и \(3\), сами окружности в множество не входят; 2) серединный перпендикуляр отрезка с концами \(2i\) и \(4\) — прямая \(y = 2x - 3\), где \(x = \operatorname{Re} z\), \(y = \operatorname{Im} z\); 3) полуплоскость \(y < 2x - 3\), содержащая точку \(4\), без граничной прямой \(y = 2x - 3\); 4) луч действительной оси, состоящий из всех неотрицательных действительных чисел (точка \(0\) входит); 5) луч мнимой оси, состоящий из чисел \(yi\), где \(y \geqslant 0\) (точка \(0\) входит); 6) парабола \(x = \frac{y^2 + 1}{2}\) с вершиной в точке \(\frac{1}{2}\).
Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа; число \(z\) изображается точкой \((x;\ y)\) комплексной плоскости. Число \(|z_1 - z_2|\) равно расстоянию между точками \(z_1\) и \(z_2\).
1) Условие \(1 < |z - 1 - i| < 3\). Так как \(|z - 1 - i| = |z - (1 + i)|\) — расстояние от точки \(z\) до точки \(1 + i\), то неравенству \(|z - (1 + i)| < 3\) удовлетворяют точки, лежащие внутри круга радиуса \(3\) с центром в точке \(1 + i\), а неравенству \(|z - (1 + i)| > 1\) — точки, лежащие вне круга радиуса \(1\) с тем же центром. Значит, искомое множество — кольцо между окружностями \(|z - (1 + i)| = 1\) и \(|z - (1 + i)| = 3\); оба неравенства строгие, поэтому сами окружности в множество не входят.
2) Условие \(|z - 2i| = |z - 4|\). Ему удовлетворяют точки, равноудалённые от точек \(2i\) и \(4\), то есть серединный перпендикуляр отрезка с концами \(2i\) и \(4\). Найдём уравнение этой прямой. Обе части равенства неотрицательны, поэтому оно равносильно равенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} &= \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 + y^2 - 4y + 4 &= x^2 - 8x + 16 + y^2; \\ 4y &= 8x - 12; \qquad | : 4 \\ y &= 2x - 3. \end{aligned}\] Значит, искомое множество — серединный перпендикуляр отрезка с концами \(2i\) и \(4\), прямая \(y = 2x - 3\).
3) Условие \(|z - 2i| > |z - 4|\). Ему удовлетворяют точки, которые находятся дальше от точки \(2i\), чем от точки \(4\), — полуплоскость, ограниченная серединным перпендикуляром отрезка с концами \(2i\) и \(4\) и содержащая точку \(4\). Найдём её неравенство. Обе части неравенства неотрицательны, поэтому оно равносильно неравенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + (y - 2)^2} &> \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 + y^2 - 4y + 4 &> x^2 - 8x + 16 + y^2; \\ 4y &< 8x - 12; \qquad | : 4 \\ y &< 2x - 3. \end{aligned}\] Точка \(4\) этому неравенству удовлетворяет: \(0 < 2 \cdot 4 - 3\). Неравенство строгое, поэтому граница — прямая \(y = 2x - 3\) — в множество не входит. Значит, искомое множество — полуплоскость \(y < 2x - 3\), содержащая точку \(4\), без граничной прямой.
4) Условие \(|z| = \operatorname{Re} z\), т. е. \(\sqrt{x^2 + y^2} = x\). Левая часть неотрицательна, поэтому равенство возможно только при \(x \geqslant 0\). При \(x \geqslant 0\) обе части неотрицательны, и равенство равносильно равенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + y^2} &= x; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 + y^2 &= x^2; \\ y &= 0. \end{aligned}\] Значит, условию удовлетворяют числа \(z = x\), где \(x \geqslant 0\), т. е. все неотрицательные действительные числа. Искомое множество — луч действительной оси с началом в точке \(0\), направленный в сторону положительных чисел; точка \(0\) в множество входит.
5) Условие \(|z| \leqslant \operatorname{Im} z\), т. е. \(\sqrt{x^2 + y^2} \leqslant y\). Левая часть неотрицательна, поэтому неравенство возможно только при \(y \geqslant 0\). При \(y \geqslant 0\) обе части неотрицательны, и неравенство равносильно неравенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{x^2 + y^2} &\leqslant y; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 + y^2 &\leqslant y^2; \\ x^2 &\leqslant 0. \end{aligned}\] Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому \(x^2 \leqslant 0\) только при \(x = 0\). Значит, условию удовлетворяют числа \(z = yi\), где \(y \geqslant 0\). Искомое множество — луч мнимой оси с началом в точке \(0\), направленный вверх; точка \(0\) в множество входит.
6) Условие \(|z - 1| = \operatorname{Re} z\), т. е. \(\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = x\). Левая часть неотрицательна, поэтому равенство возможно только при \(x \geqslant 0\). При \(x \geqslant 0\) обе части неотрицательны, и равенство равносильно равенству квадратов: \[\begin{aligned} \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} &= x; \qquad | \text{возведём в квадрат} \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 &= x^2; \\ 2x &= y^2 + 1; \qquad | : 2 \\ x &= \frac{y^2 + 1}{2}. \end{aligned}\] При любом \(y\) получаем \(x = \frac{y^2 + 1}{2} \geqslant \frac{1}{2}\), поэтому условие \(x \geqslant 0\) выполняется во всех точках этой линии. Значит, искомое множество — парабола \(x = \frac{y^2 + 1}{2}\) с вершиной в точке \(\frac{1}{2}\); её ось симметрии — действительная ось, ветви направлены в сторону положительных чисел.
Ответ: 1) кольцо между окружностями с центром в точке \(1 + i\) радиусов \(1\) и \(3\), сами окружности в множество не входят; 2) серединный перпендикуляр отрезка с концами \(2i\) и \(4\) — прямая \(y = 2x - 3\), где \(x = \operatorname{Re} z\), \(y = \operatorname{Im} z\); 3) полуплоскость \(y < 2x - 3\), содержащая точку \(4\), без граничной прямой \(y = 2x - 3\); 4) луч действительной оси, состоящий из всех неотрицательных действительных чисел (точка \(0\) входит); 5) луч мнимой оси, состоящий из чисел \(yi\), где \(y \geqslant 0\) (точка \(0\) входит); 6) парабола \(x = \frac{y^2 + 1}{2}\) с вершиной в точке \(\frac{1}{2}\).
