Страница 140 номер 15.1, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
1) \(z_1 = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)\), \(z_2 = 3\left(\cos \frac{\pi}{12} + i\sin \frac{\pi}{12}\right)\) — оба числа в тригонометрической форме: \[\begin{aligned} &z_1z_2 = 2 \cdot 3\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\right)\right) = {} \\ &= 6\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right) = 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i. \end{aligned}\]
2) \(z_1 = 5\left(\cos\left(-\frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{16}\right)\right)\), \(z_2 = \cos 1 + i\sin 1\) — оба числа в тригонометрической форме, модуль числа \(z_2\) равен \(1\). Сумма аргументов \(-\frac{\pi}{16} + 1 = 1 - \frac{\pi}{16}\), поэтому \[z_1z_2 = 5\left(\cos\left(1 - \frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(1 - \frac{\pi}{16}\right)\right).\]
3) \(z_1 = 4\left(\cos \frac{\pi}{8} - i\sin \frac{\pi}{8}\right)\), \(z_2 = -2\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right)\) — записи не тригонометрические: у числа \(z_1\) в скобках разность, у числа \(z_2\) множитель перед скобками отрицателен: \[\begin{aligned} z_1 &= 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right); \\ z_2 &= 2\left(-\cos \frac{\pi}{4} - i\sin \frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4}\right). \end{aligned}\] Тогда \[\begin{aligned} &z_1z_2 = 4 \cdot 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4}\right)\right) = {} \\ &= 8\left(\cos \frac{9\pi}{8} + i\sin \frac{9\pi}{8}\right). \end{aligned}\]
4) \(z_1 = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\), \(z_2 = \sqrt{3} + i\);
\(|z_2| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2\), поэтому
\[z_2 = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right).\]
Тогда
\[\begin{aligned} &z_1z_2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right)\right) = {} \\ &= 2\left(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\right) = 2i. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(z_1z_2 = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i\); 2) \(z_1z_2 = 5\left(\cos\left(1 - \frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(1 - \frac{\pi}{16}\right)\right)\); 3) \(z_1z_2 = 8\left(\cos \frac{9\pi}{8} + i\sin \frac{9\pi}{8}\right)\); 4) \(z_1z_2 = 2i\).
Найдём произведение \(z_1z_2\) в каждом пункте. Если \(z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)\) и \(z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)\) — тригонометрические формы чисел, то модуль произведения равен произведению модулей, а сумма аргументов является аргументом произведения: \[z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\]
1) \(z_1 = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)\), \(z_2 = 3\left(\cos \frac{\pi}{12} + i\sin \frac{\pi}{12}\right)\) — оба числа записаны в тригонометрической форме: \[\begin{aligned} &z_1z_2 = 2 \cdot 3\left(\cos\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12}\right)\right) = {} \\ &= 6\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right) = 6\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i. \end{aligned}\]
2) \(z_1 = 5\left(\cos\left(-\frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{16}\right)\right)\), \(z_2 = \cos 1 + i\sin 1\) — оба числа записаны в тригонометрической форме, модуль числа \(z_2\) равен \(1\). Аргументы складываются: \(-\frac{\pi}{16} + 1 = 1 - \frac{\pi}{16}\), поэтому \[z_1z_2 = 5\left(\cos\left(1 - \frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(1 - \frac{\pi}{16}\right)\right).\]
3) \(z_1 = 4\left(\cos \frac{\pi}{8} - i\sin \frac{\pi}{8}\right)\), \(z_2 = -2\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right)\). Эти записи не являются тригонометрической формой: у числа \(z_1\) в скобках стоит разность, у числа \(z_2\) множитель перед скобками отрицателен. Косинус — чётная функция, синус — нечётная, поэтому \[z_1 = 4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{8}\right)\right).\] По формулам приведения \(-\cos \alpha = \cos(\alpha + \pi)\) и \(-\sin \alpha = \sin(\alpha + \pi)\), поэтому \[z_2 = 2\left(-\cos \frac{\pi}{4} - i\sin \frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4}\right).\] Тогда \[\begin{aligned} &z_1z_2 = 4 \cdot 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{4}\right)\right) = {} \\ &= 8\left(\cos \frac{9\pi}{8} + i\sin \frac{9\pi}{8}\right). \end{aligned}\]
4) \(z_1 = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\), \(z_2 = \sqrt{3} + i\). Запишем число \(z_2\) в тригонометрической форме: \(|z_2| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = 2\), поэтому \[z_2 = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right).\] Тогда \[\begin{aligned} &z_1z_2 = 2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right)\right) = {} \\ &= 2\left(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\right) = 2i. \end{aligned}\]
Ответ: 1) \(z_1z_2 = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}i\); 2) \(z_1z_2 = 5\left(\cos\left(1 - \frac{\pi}{16}\right) + i\sin\left(1 - \frac{\pi}{16}\right)\right)\); 3) \(z_1z_2 = 8\left(\cos \frac{9\pi}{8} + i\sin \frac{9\pi}{8}\right)\); 4) \(z_1z_2 = 2i\).
