Страница 134 номер 14.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
На комплексной плоскости отметили точки \(A(z_{1})\) и \(B(z_{2})\). Найдите комплексную координату такой точки \(C\) отрезка \(AB\), что \(AC : CB = m : n\).
Отношение \(AC : CB = m : n\) — отношение длин отрезков, поэтому \(m > 0\), \(n > 0\); значит, \(AC = mt\) и \(CB = nt\) для некоторого \(t > 0\). Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), поэтому \(AB = AC + CB = (m + n)t\) и \(AC = \frac{m}{m + n}AB\); векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\) сонаправлены, значит, \(\overrightarrow{AC} = \frac{m}{m + n}\overrightarrow{AB}\).
Пусть \(c\) — комплексная координата точки \(C\); \(\overrightarrow{AC} = c - z_1\), \(\overrightarrow{AB} = z_2 - z_1\): \[\begin{aligned} c - z_1 &= \frac{m}{m + n}(z_2 - z_1); \\ c &= \frac{(m + n)z_1 + m(z_2 - z_1)}{m + n} = \frac{nz_1 + mz_2}{m + n}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{nz_1 + mz_2}{m + n}\).
На комплексной плоскости отметили точки \(A(z_{1})\) и \(B(z_{2})\). Найдите комплексную координату такой точки \(C\) отрезка \(AB\), что \(AC : CB = m : n\).
Отношение \(AC : CB = m : n\) — отношение длин отрезков, поэтому \(m > 0\), \(n > 0\); значит, \(AC = mt\) и \(CB = nt\) для некоторого \(t > 0\). Точка \(C\) лежит на отрезке \(AB\), поэтому \(AB = AC + CB = (m + n)t\) и \(AC = \frac{m}{m + n}AB\). Векторы \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{AB}\) сонаправлены, значит, \(\overrightarrow{AC} = \frac{m}{m + n}\overrightarrow{AB}\).
Пусть \(c\) — комплексная координата точки \(C\). Вектор равен разности комплексных координат его конца и начала: \(\overrightarrow{AC} = c - z_1\), \(\overrightarrow{AB} = z_2 - z_1\). Получаем: \[\begin{aligned} c - z_1 &= \frac{m}{m + n}(z_2 - z_1); \\ c &= \frac{(m + n)z_1 + m(z_2 - z_1)}{m + n} = \frac{nz_1 + mz_2}{m + n}. \end{aligned}\]
Ответ: \(\frac{nz_1 + mz_2}{m + n}\).
