Страница 147 номер 15.27, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
На сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) во внешнюю сторону построены квадраты \(ABNM\) и \(ACQP\). Докажите, что \(MC = BP\), \(MC \perp BP\).
Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(A\) совпала с началом координат, а обход вершин треугольника \(A \to B \to C\) шёл против часовой стрелки (этого можно добиться выбором направления мнимой оси). Пусть \(b\) и \(c\) — комплексные координаты точек \(B\) и \(C\).
Обход \(A \to B \to C\) — против часовой стрелки, поэтому луч \(AC\) получается из луча \(AB\) поворотом против часовой стрелки на угол \(BAC\), а луч \(AB\) из луча \(AC\) — поворотом по часовой стрелке. Квадраты построены во внешнюю сторону. Вершина \(M\) квадрата \(ABNM\) лежит по другую сторону от прямой \(AB\), чем точка \(C\), и \(AM = AB\), \(AM \perp AB\), поэтому \(M\) — образ точки \(B\) при повороте с центром \(A\) на угол \(-\frac{\pi}{2}\). Вершина \(P\) квадрата \(ACQP\) лежит по другую сторону от прямой \(AC\), чем точка \(B\), и \(AP = AC\), \(AP \perp AC\), поэтому \(P\) — образ точки \(C\) при повороте с центром \(A\) на угол \(\frac{\pi}{2}\). Значит, комплексные координаты точек \(M\) и \(P\) равны \(-ib\) и \(ic\) соответственно, и \[\begin{aligned} \overrightarrow{MC} &= c - (-ib) = c + ib; \\ \overrightarrow{BP} &= ic - b. \end{aligned}\] \(i \cdot \overrightarrow{MC} = i(c + ib) = ic + i^2 b = ic - b = \overrightarrow{BP}\).
Умножение на число \(i = \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\) — поворот на угол \(\frac{\pi}{2}\), поэтому вектор \(\overrightarrow{BP}\) получается из вектора \(\overrightarrow{MC}\) поворотом на угол \(\frac{\pi}{2}\). Значит, \(BP = MC\) и \(MC \perp BP\).
Ответ: доказано: \(\overrightarrow{BP} = i \cdot \overrightarrow{MC}\), поэтому \(MC = BP\) и \(MC \perp BP\).
На сторонах \(AB\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) во внешнюю сторону построены квадраты \(ABNM\) и \(ACQP\). Докажите, что \(MC = BP\), \(MC \perp BP\).
Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(A\) совпала с началом координат, а обход вершин треугольника \(A \to B \to C\) шёл против часовой стрелки (этого можно добиться выбором направления мнимой оси). Пусть \(b\) и \(c\) — комплексные координаты точек \(B\) и \(C\).
Обход \(A \to B \to C\) — против часовой стрелки, поэтому луч \(AC\) получается из луча \(AB\) поворотом против часовой стрелки на угол \(BAC\), а луч \(AB\) из луча \(AC\) — поворотом по часовой стрелке. Квадраты построены во внешнюю сторону. Вершина \(M\) квадрата \(ABNM\) лежит по другую сторону от прямой \(AB\), чем точка \(C\), и \(AM = AB\), \(AM \perp AB\), поэтому \(M\) — образ точки \(B\) при повороте с центром \(A\) на угол \(-\frac{\pi}{2}\). Вершина \(P\) квадрата \(ACQP\) лежит по другую сторону от прямой \(AC\), чем точка \(B\), и \(AP = AC\), \(AP \perp AC\), поэтому \(P\) — образ точки \(C\) при повороте с центром \(A\) на угол \(\frac{\pi}{2}\). Тогда комплексные координаты точек \(M\) и \(P\) равны \(-ib\) и \(ic\) соответственно.
Вектор равен разности комплексных координат его конца и начала: \[\begin{aligned} \overrightarrow{MC} &= c - (-ib) = c + ib; \\ \overrightarrow{BP} &= ic - b. \end{aligned}\] Имеем: \(i \cdot \overrightarrow{MC} = i(c + ib) = ic + i^2 b = ic - b = \overrightarrow{BP}\).
Умножение на число \(i = \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\) задаёт поворот на угол \(\frac{\pi}{2}\), поэтому вектор \(\overrightarrow{BP}\) получается из вектора \(\overrightarrow{MC}\) поворотом на угол \(\frac{\pi}{2}\). Значит, \(BP = MC\) и \(MC \perp BP\).
Ответ: доказано: \(\overrightarrow{BP} = i \cdot \overrightarrow{MC}\), поэтому \(MC = BP\) и \(MC \perp BP\).
