Страница 134 номер 14.11, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Модуль числа \(z = a + bi\) равен \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\), а его аргумент \(\varphi\) находим из системы \(\cos\varphi = \frac{a}{r}\), \(\sin\varphi = \frac{b}{r}\); тогда \(z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\).

1) \(r = 3\), \(\cos\varphi = \frac{-3}{3} = -1\), \(\sin\varphi = \frac{0}{3} = 0\), откуда \(\varphi = \pi + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Возьмём \(\varphi = \pi\): \[-3 = 3(\cos\pi + i\sin\pi).\]

2) \(r = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5\), \(\cos\varphi = \frac{0}{5} = 0\), \(\sin\varphi = \frac{-5}{5} = -1\), откуда \(\varphi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Возьмём \(\varphi = -\frac{\pi}{2}\): \[-5i = 5\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right).\]

3) \(r = \sqrt{(-3)^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). Аргумент находим из системы \[\begin{cases} \cos\varphi = \frac{-3}{3\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin\varphi = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}. \end{cases}\] Отсюда \(\varphi = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Возьмём \(\varphi = \frac{3\pi}{4}\): \[-3 + 3i = 3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right).\]

4) \(r = \sqrt{(-1)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = 2\). Аргумент находим из системы \[\begin{cases} \cos\varphi = -\frac{1}{2}, \\ \sin\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}. \end{cases}\] Отсюда \(\varphi = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Возьмём \(\varphi = \frac{2\pi}{3}\): \[-1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right).\]

5) \(r = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}\). Аргумент находим из системы \[\begin{cases} \cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \\ \sin\varphi = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}. \end{cases}\] Угол \(\varphi = \arcsin\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\) удовлетворяет второму уравнению и принадлежит отрезку \(\left[-\frac{\pi}{2};\ \frac{\pi}{2}\right]\), на котором косинус неотрицателен, поэтому для него \(\cos\varphi = \sqrt{1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \frac{2\sqrt{5}}{5}\) — первое уравнение тоже верно. Значит, \[2 - i = \sqrt{5}\left(\cos\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right) + i\sin\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right)\right).\]

6) \(r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}\). Аргумент находим из системы \[\begin{cases} \cos\varphi = -\frac{2}{\sqrt{13}} = -\frac{2\sqrt{13}}{13}, \\ \sin\varphi = -\frac{3}{\sqrt{13}} = -\frac{3\sqrt{13}}{13}. \end{cases}\] Пусть \(\alpha = \arccos\left(-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)\). Угол \(\alpha\) принадлежит отрезку \([0;\ \pi]\), на котором синус неотрицателен, поэтому \(\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)^2} = \frac{3\sqrt{13}}{13}\). Косинус — чётная функция, синус — нечётная, поэтому \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha = -\frac{2\sqrt{13}}{13}\) и \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha = -\frac{3\sqrt{13}}{13}\): угол \(\varphi = -\alpha\) удовлетворяет системе. Значит, \[-2 - 3i = \sqrt{13}\left(\cos\left(-\arccos\left(-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)\right) + i\sin\left(-\arccos\left(-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)\right)\right).\]

7) Сначала запишем число в алгебраической форме: \[(1 + 3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i.\] \(r = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = 10\). Аргумент находим из системы \[\begin{cases} \cos\varphi = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}, \\ \sin\varphi = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}. \end{cases}\] Угол \(\varphi = \arccos\left(-\frac{4}{5}\right)\) удовлетворяет первому уравнению и принадлежит отрезку \([0;\ \pi]\), на котором синус неотрицателен, поэтому для него \(\sin\varphi = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \frac{3}{5}\) — второе уравнение тоже верно. Значит, \[(1 + 3i)^2 = 10\left(\cos\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right)\right) + i\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\right).\]

8) Умножим числитель и знаменатель на число \(1 + i\), сопряжённое знаменателю: \[\frac{3 - i}{1 - i} = \frac{(3 - i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i - i - i^2}{1 + 1} = \frac{4 + 2i}{2} = 2 + i.\] \(r = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\). Аргумент находим из системы \[\begin{cases} \cos\varphi = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}, \\ \sin\varphi = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}. \end{cases}\] Угол \(\varphi = \arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}\) удовлетворяет первому уравнению и принадлежит отрезку \([0;\ \pi]\), на котором синус неотрицателен, поэтому для него \(\sin\varphi = \sqrt{1 - \left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2} = \frac{\sqrt{5}}{5}\) — второе уравнение тоже верно. Значит, \[\frac{3 - i}{1 - i} = \sqrt{5}\left(\cos\left(\arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) + i\sin\left(\arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\right).\]

Ответ: 1) \(3(\cos\pi + i\sin\pi)\); 2) \(5\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)\); 3) \(3\sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right)\); 4) \(2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\); 5) \(\sqrt{5}\left(\cos\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right) + i\sin\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{5}}{5}\right)\right)\right)\); 6) \(\sqrt{13}\left(\cos\left(-\arccos\left(-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)\right) + i\sin\left(-\arccos\left(-\frac{2\sqrt{13}}{13}\right)\right)\right)\); 7) \(10\left(\cos\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right)\right) + i\sin\left(\arccos\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\right)\); 8) \(\sqrt{5}\left(\cos\left(\arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) + i\sin\left(\arccos\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)\right)\).