Страница 142 номер 15.16, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите все такие действительные \(x\) и \(y\), что \((x + yi)^{4} = x - yi\).
Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа. Тогда \(x - yi = \overline{z}\), и условие задачи — равенство \(z^4 = \overline{z}\).
Если \(z = 0\), то есть \(x = y = 0\), то равенство верно: \(0^4 = 0\).
Пусть \(z \ne 0\). Тогда \(|z^4| = |\overline{z}|\), причём \(|z^4| = |z|^4\) и \(|\overline{z}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = |z|\). Значит, \(|z|^4 = |z|\); так как \(|z| > 0\), то \(|z|^3 = 1\), откуда \(|z| = 1\), и в тригонометрической форме \(z = \cos \varphi + i\sin \varphi\): \[\begin{aligned} \overline{z} &= \cos \varphi - i\sin \varphi = \cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi); \\ z^4 &= \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi. \end{aligned}\] Модули здесь равны \(1\), поэтому равенство \(z^4 = \overline{z}\) выполняется тогда и только тогда, когда аргументы отличаются на \(2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\): \[\begin{aligned} 4\varphi &= -\varphi + 2\pi k; \\ \varphi &= \frac{2\pi k}{5},\ \text{где}\ k \in \mathbf{Z}. \end{aligned}\] При \(k = 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\) аргументы \(\frac{2\pi k}{5}\) различны и лежат в промежутке \([0;\ 2\pi)\) — получаются пять различных чисел; при других целых \(k\) получаются те же числа, так как замена \(k\) на \(k + 5\) увеличивает угол на \(2\pi\). Из равенства \(x + yi = \cos \frac{2\pi k}{5} + i\sin \frac{2\pi k}{5}\) получаем \(x = \cos \frac{2\pi k}{5}\), \(y = \sin \frac{2\pi k}{5}\).
Ответ: \((0;\ 0)\); \(\left(\cos \frac{2\pi k}{5};\ \sin \frac{2\pi k}{5}\right)\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}\).
Найдите все такие действительные \(x\) и \(y\), что \((x + yi)^{4} = x - yi\).
Обозначим \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа. Тогда \(x - yi = \overline{z}\), и условие задачи — равенство \(z^4 = \overline{z}\).
Если \(z = 0\), т. е. \(x = y = 0\), то равенство верно: \(0^4 = 0\).
Пусть \(z \ne 0\). Модули равных чисел равны, поэтому \(|z^4| = |\overline{z}|\). По формуле Муавра модуль степени равен степени модуля: \(|z^4| = |z|^4\), а \(|\overline{z}| = \sqrt{x^2 + (-y)^2} = |z|\). Значит, \(|z|^4 = |z|\); так как \(|z| > 0\), то \(|z|^3 = 1\), откуда \(|z| = 1\). Запишем число \(z\) в тригонометрической форме: \(z = \cos \varphi + i\sin \varphi\). Косинус — чётная функция, синус — нечётная, а степень найдём по формуле Муавра: \[\begin{aligned} \overline{z} &= \cos \varphi - i\sin \varphi = \cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi); \\ z^4 &= \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi. \end{aligned}\] Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на \(2\pi k\), \(k \in \mathbf{Z}\). Модули здесь равны \(1\), поэтому равенство \(z^4 = \overline{z}\) выполняется тогда и только тогда, когда \[\begin{aligned} 4\varphi &= -\varphi + 2\pi k; \\ \varphi &= \frac{2\pi k}{5},\ \text{где}\ k \in \mathbf{Z}. \end{aligned}\] При \(k = 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\) аргументы \(\frac{2\pi k}{5}\) различны и лежат в промежутке \([0;\ 2\pi)\), поэтому получаются пять различных чисел; при других целых \(k\) получаются те же числа, так как замена \(k\) на \(k + 5\) увеличивает угол на \(2\pi\). Из равенства \(x + yi = \cos \frac{2\pi k}{5} + i\sin \frac{2\pi k}{5}\) получаем \(x = \cos \frac{2\pi k}{5}\), \(y = \sin \frac{2\pi k}{5}\).
Ответ: \((0;\ 0)\); \(\left(\cos \frac{2\pi k}{5};\ \sin \frac{2\pi k}{5}\right)\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}\).
