Страница 147 номер 15.26, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Пусть \(O\) — произвольная точка, \(P\), \(Q\), \(R\) — точки пересечения медиан треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COA\), а \(G\) и \(G_1\) — точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(PQR\). Докажем, что точки \(O\), \(G\) и \(G_1\) лежат на одной прямой.
Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(O\) совпала с началом координат. Пусть \(a\), \(b\), \(c\) — комплексные координаты точек \(A\), \(B\), \(C\), а \(z_P\), \(z_Q\), \(z_R\), \(z_G\), \(z_{G_1}\) — комплексные координаты точек \(P\), \(Q\), \(R\), \(G\), \(G_1\).
Пусть \(z_T\) — комплексная координата точки \(T\) пересечения медиан треугольника с вершинами в точках \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\). Середина стороны с концами \(z_2\) и \(z_3\) — точка \(\frac{z_2 + z_3}{2}\), а точка \(T\) делит медиану, проведённую из вершины \(z_1\), в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(z_T - z_1 = \frac{2}{3}\left(\frac{z_2 + z_3}{2} - z_1\right)\), откуда \[z_T = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}.\]
Комплексная координата точки \(O\) равна \(0\), поэтому \[\begin{aligned} z_P &= \frac{a + b}{3}; \\ z_Q &= \frac{b + c}{3}; \\ z_R &= \frac{c + a}{3}; \\ z_G &= \frac{a + b + c}{3}; \\ z_{G_1} &= \frac{z_P + z_Q + z_R}{3} = \frac{2(a + b + c)}{9} = \frac{2}{3}z_G. \end{aligned}\]
Значит, \(\overrightarrow{OG_1} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OG}\): точка \(G_1\) лежит на отрезке \(OG\) (если точка \(O\) совпадает с точкой \(G\), то \(z_G = 0\), \(z_{G_1} = 0\) и все три точки совпадают). Следовательно, точки \(O\), \(G\) и \(G_1\) лежат на одной прямой.
Ответ: доказано: \(\overrightarrow{OG_1} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OG}\), где \(G\) и \(G_1\) — точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(PQR\), поэтому точки \(O\), \(G\) и \(G_1\) лежат на одной прямой.
Пусть \(O\) — произвольная точка, \(P\), \(Q\), \(R\) — точки пересечения медиан треугольников \(AOB\), \(BOC\), \(COA\), а \(G\) и \(G_1\) — точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(PQR\). Докажем, что точки \(O\), \(G\) и \(G_1\) лежат на одной прямой.
Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(O\) совпала с началом координат. Пусть \(a\), \(b\), \(c\) — комплексные координаты точек \(A\), \(B\), \(C\), а \(z_P\), \(z_Q\), \(z_R\), \(z_G\), \(z_{G_1}\) — комплексные координаты точек \(P\), \(Q\), \(R\), \(G\), \(G_1\).
Найдём комплексную координату \(z_T\) точки \(T\) пересечения медиан треугольника с вершинами в точках \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\). Середина стороны с концами \(z_2\) и \(z_3\) имеет комплексную координату \(\frac{z_2 + z_3}{2}\). Точка \(T\) делит медиану, проведённую из вершины \(z_1\), в отношении \(2 : 1\), считая от вершины, поэтому \(z_T - z_1 = \frac{2}{3}\left(\frac{z_2 + z_3}{2} - z_1\right)\), откуда \[z_T = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}.\]
Комплексная координата точки \(O\) равна \(0\), поэтому \[\begin{aligned} z_P &= \frac{a + b}{3}; \\ z_Q &= \frac{b + c}{3}; \\ z_R &= \frac{c + a}{3}; \\ z_G &= \frac{a + b + c}{3}; \\ z_{G_1} &= \frac{z_P + z_Q + z_R}{3} = \frac{2(a + b + c)}{9} = \frac{2}{3}z_G. \end{aligned}\]
Значит, \(\overrightarrow{OG_1} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OG}\): точка \(G_1\) лежит на отрезке \(OG\) (если точка \(O\) совпадает с точкой \(G\), то \(z_G = 0\), \(z_{G_1} = 0\) и все три точки совпадают). Следовательно, точки \(O\), \(G\) и \(G_1\) лежат на одной прямой.
Ответ: доказано: \(\overrightarrow{OG_1} = \frac{2}{3}\overrightarrow{OG}\), где \(G\) и \(G_1\) — точки пересечения медиан треугольников \(ABC\) и \(PQR\), поэтому точки \(O\), \(G\) и \(G_1\) лежат на одной прямой.
