Страница 134 номер 14.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 3. Комплексные числа. §14. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Страница 134. Номер 14.12

Решение:

В тригонометрической форме \(r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\) множитель \(r\) положителен, под знаками косинуса и синуса стоит один и тот же угол, а между слагаемыми — знак «+»; приведём каждую запись к такому виду.

1) \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\), поэтому \[4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 4\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right).\]

2) \(\cos\frac{\pi}{11} = \cos\left(-\frac{\pi}{11}\right)\), \(-\sin\frac{\pi}{11} = \sin\left(-\frac{\pi}{11}\right)\), поэтому \[3\left(\cos\frac{\pi}{11} - i\sin\frac{\pi}{11}\right) = 3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{11}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right).\]

3) \(\sin\frac{2\pi}{13} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13}\right) = \cos\frac{9\pi}{26}\) и \(\cos\frac{2\pi}{13} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13}\right) = \sin\frac{9\pi}{26}\), поэтому \[6\left(\sin\frac{2\pi}{13} + i\cos\frac{2\pi}{13}\right) = 6\left(\cos\frac{9\pi}{26} + i\sin\frac{9\pi}{26}\right).\]

4) Множитель \(-2\) отрицателен, поэтому вносим минус в скобки и пользуемся формулами приведения \(-\cos\alpha = \cos(\pi + \alpha)\), \(-\sin\alpha = \sin(\pi + \alpha)\): \[\begin{aligned} &{-}2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\cos\frac{2\pi}{3} - i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = {} \\ &= 2\left(\cos\left(\pi + \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\pi + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right). \end{aligned}\]

5) По формулам приведения \(-\cos\alpha = \cos(\pi + \alpha)\), \(-\sin\alpha = \sin(\pi + \alpha)\): \[-\cos\frac{1}{3} - i\sin\frac{1}{3} = \cos\left(\pi + \frac{1}{3}\right) + i\sin\left(\pi + \frac{1}{3}\right).\] Это тригонометрическая форма с модулем \(r = 1\).

Ответ: 1) \(4\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\); 2) \(3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{11}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right)\); 3) \(6\left(\cos\frac{9\pi}{26} + i\sin\frac{9\pi}{26}\right)\); 4) \(2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right)\); 5) \(\cos\left(\pi + \frac{1}{3}\right) + i\sin\left(\pi + \frac{1}{3}\right)\).

Решение:

В тригонометрической форме \(r(\cos\varphi + i\sin\varphi)\) множитель \(r\) положителен, под знаками косинуса и синуса стоит один и тот же угол, а между слагаемыми — знак «+». Приведём каждую запись к такому виду с помощью чётности косинуса, нечётности синуса и формул приведения.

1) Число \(4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\frac{\pi}{4}\right)\). Косинус — чётная функция: \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\). Поэтому \[4\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 4\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right).\]

2) Число \(3\left(\cos\frac{\pi}{11} - i\sin\frac{\pi}{11}\right)\). Косинус — чётная функция, синус — нечётная: \(\cos\frac{\pi}{11} = \cos\left(-\frac{\pi}{11}\right)\), \(-\sin\frac{\pi}{11} = \sin\left(-\frac{\pi}{11}\right)\). Поэтому \[3\left(\cos\frac{\pi}{11} - i\sin\frac{\pi}{11}\right) = 3\left(\cos\left(-\frac{\pi}{11}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{11}\right)\right).\]

3) Число \(6\left(\sin\frac{2\pi}{13} + i\cos\frac{2\pi}{13}\right)\). По формулам приведения \(\sin\frac{2\pi}{13} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13}\right) = \cos\frac{9\pi}{26}\) и \(\cos\frac{2\pi}{13} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{13}\right) = \sin\frac{9\pi}{26}\). Поэтому \[6\left(\sin\frac{2\pi}{13} + i\cos\frac{2\pi}{13}\right) = 6\left(\cos\frac{9\pi}{26} + i\sin\frac{9\pi}{26}\right).\]

4) Число \(-2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\). Множитель \(-2\) отрицателен. Внесём минус в скобки и воспользуемся формулами приведения \(-\cos\alpha = \cos(\pi + \alpha)\), \(-\sin\alpha = \sin(\pi + \alpha)\): \[\begin{aligned} &{-}2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = 2\left(-\cos\frac{2\pi}{3} - i\sin\frac{2\pi}{3}\right) = {} \\ &= 2\left(\cos\left(\pi + \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(\pi + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right). \end{aligned}\]

5) Число \(-\cos\frac{1}{3} - i\sin\frac{1}{3}\). По формулам приведения \(-\cos\alpha = \cos(\pi + \alpha)\), \(-\sin\alpha = \sin(\pi + \alpha)\): \[-\cos\frac{1}{3} - i\sin\frac{1}{3} = \cos\left(\pi + \frac{1}{3}\right) + i\sin\left(\pi + \frac{1}{3}\right).\] Это тригонометрическая форма с модулем \(r = 1\).