Страница 141 номер 15.6, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Запишите в тригонометрической форме число \(z\), если: 1) \(z = \left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24}\right)\right)^{4}\); 2) \(z = \left(-2\left(\cos \frac{\pi}{15} + i \sin \frac{\pi}{15}\right)\right)^{5}\).
1) \[z = (\sqrt{2})^4\left(\cos \frac{4\pi}{24} + i\sin \frac{4\pi}{24}\right) = 4\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right).\]
2) В записи \(-2\left(\cos \frac{\pi}{15} + i\sin \frac{\pi}{15}\right)\) множитель перед скобками отрицателен; так как \(-\cos \alpha = \cos(\alpha + \pi)\) и \(-\sin \alpha = \sin(\alpha + \pi)\), то \[-2\left(\cos \frac{\pi}{15} + i\sin \frac{\pi}{15}\right) = 2\left(\cos \frac{16\pi}{15} + i\sin \frac{16\pi}{15}\right).\] Тогда \[z = 2^5\left(\cos \frac{5 \cdot 16\pi}{15} + i\sin \frac{5 \cdot 16\pi}{15}\right) = 32\left(\cos \frac{16\pi}{3} + i\sin \frac{16\pi}{3}\right).\]
Ответ: 1) \(z = 4\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)\); 2) \(z = 32\left(\cos \frac{16\pi}{3} + i\sin \frac{16\pi}{3}\right)\).
Запишите в тригонометрической форме число \(z\), если: 1) \(z = \left(\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{24} + i \sin \frac{\pi}{24}\right)\right)^{4}\); 2) \(z = \left(-2\left(\cos \frac{\pi}{15} + i \sin \frac{\pi}{15}\right)\right)^{5}\).
Воспользуемся формулой Муавра \((r(\cos \varphi + i\sin \varphi))^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)\), \(n \in \mathbf{N}\); основание степени должно быть записано в тригонометрической форме.
1) \[z = (\sqrt{2})^4\left(\cos \frac{4\pi}{24} + i\sin \frac{4\pi}{24}\right) = 4\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right).\]
2) Запись \(-2\left(\cos \frac{\pi}{15} + i\sin \frac{\pi}{15}\right)\) не является тригонометрической формой: множитель перед скобками отрицателен. По формулам приведения \(-\cos \alpha = \cos(\alpha + \pi)\) и \(-\sin \alpha = \sin(\alpha + \pi)\), поэтому \[-2\left(\cos \frac{\pi}{15} + i\sin \frac{\pi}{15}\right) = 2\left(\cos \frac{16\pi}{15} + i\sin \frac{16\pi}{15}\right).\] Тогда \[z = 2^5\left(\cos \frac{5 \cdot 16\pi}{15} + i\sin \frac{5 \cdot 16\pi}{15}\right) = 32\left(\cos \frac{16\pi}{3} + i\sin \frac{16\pi}{3}\right).\]
Ответ: 1) \(z = 4\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)\); 2) \(z = 32\left(\cos \frac{16\pi}{3} + i\sin \frac{16\pi}{3}\right)\).
