Страница 147 номер 15.28, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
На сторонах \(BC\) и \(AC\) треугольника \(ABC\) во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники \(BCK\) и \(CAM\). Найдите угол между прямыми \(BM\) и \(AK\) и докажите, что \(BM = AK\).
Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(C\) совпала с началом координат, а обход вершин треугольника \(A \to B \to C\) шёл против часовой стрелки (этого можно добиться выбором направления мнимой оси). Пусть \(a\) и \(b\) — комплексные координаты точек \(A\) и \(B\). Обозначим \(\varepsilon = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\); тогда \(\overline{\varepsilon} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\) и \(\varepsilon\overline{\varepsilon} = |\varepsilon|^2 = 1\).
Обход \(A \to B \to C\) — против часовой стрелки, поэтому луч \(CB\) получается из луча \(CA\) поворотом против часовой стрелки на угол \(ACB\), а луч \(CA\) из луча \(CB\) — поворотом по часовой стрелке. Треугольники построены во внешнюю сторону. Вершина \(K\) лежит по другую сторону от прямой \(BC\), чем точка \(A\), и \(CK = CB\), \(\angle BCK = \frac{\pi}{3}\), поэтому \(K\) — образ точки \(B\) при повороте с центром \(C\) на угол \(\frac{\pi}{3}\). Вершина \(M\) лежит по другую сторону от прямой \(AC\), чем точка \(B\), и \(CM = CA\), \(\angle ACM = \frac{\pi}{3}\), поэтому \(M\) — образ точки \(A\) при повороте с центром \(C\) на угол \(-\frac{\pi}{3}\). Тогда комплексные координаты точек \(K\) и \(M\) равны \(\varepsilon b\) и \(\overline{\varepsilon}a\) соответственно, и \[\begin{aligned} \overrightarrow{BM} &= \overline{\varepsilon}a - b; \\ \overrightarrow{KA} &= a - \varepsilon b. \end{aligned}\] Имеем: \(\varepsilon \cdot \overrightarrow{BM} = \varepsilon\overline{\varepsilon}a - \varepsilon b = a - \varepsilon b = \overrightarrow{KA}\).
Значит, вектор \(\overrightarrow{KA}\) получается из вектора \(\overrightarrow{BM}\) поворотом на угол \(\frac{\pi}{3}\). Поэтому \(AK = BM\), а угол между векторами \(\overrightarrow{BM}\) и \(\overrightarrow{KA}\) равен \(\frac{\pi}{3}\), т. е. \(60^\circ\). Этот угол острый, поэтому и угол между прямыми \(BM\) и \(AK\) равен \(60^\circ\).
Ответ: угол между прямыми \(BM\) и \(AK\) равен \(60^\circ\); \(BM = AK\).
