Страница 134 номер 14.15, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Аргумент определён только у ненулевого числа, поэтому \(z \ne 0\) и число \(\frac{1}{z}\) определено. Пусть \(z = a + bi\) и \(r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), тогда \(r > 0\). Так как \(\varphi\) — аргумент числа \(z\), то \(\cos\varphi = \frac{a}{r}\), \(\sin\varphi = \frac{b}{r}\).

Умножим числитель и знаменатель дроби \(\frac{1}{z}\) на число \(\overline{z} = a - bi\), сопряжённое знаменателю, и учтём, что \(z\overline{z} = |z|^2 = r^2\): \[\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{z\overline{z}} = \frac{a - bi}{r^2} = \frac{a}{r^2} - \frac{b}{r^2}i.\] Модуль этого числа \[\left|\frac{1}{z}\right| = \sqrt{\left(\frac{a}{r^2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{r^2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{r^4}} = \sqrt{\frac{r^2}{r^4}} = \frac{1}{r}.\] Поэтому аргумент числа \(\frac{1}{z}\) — это любой угол, косинус которого равен \(\frac{a}{r^2} : \frac{1}{r} = \frac{a}{r}\), а синус равен \(-\frac{b}{r^2} : \frac{1}{r} = -\frac{b}{r}\). Косинус — чётная функция, синус — нечётная, поэтому \[\begin{aligned} \cos(-\varphi) &= \cos\varphi = \frac{a}{r}, \\ \sin(-\varphi) &= -\sin\varphi = -\frac{b}{r}. \end{aligned}\] Значит, угол \(-\varphi\) — аргумент числа \(\frac{1}{z}\), и \(\frac{1}{z} = \frac{1}{r}(\cos(-\varphi) + i\sin(-\varphi))\).

Ответ: доказано: если \(\varphi\) — аргумент комплексного числа \(z\), то \(-\varphi\) — аргумент числа \(\frac{1}{z}\).