Вопросы после параграфа §15 на странице 140, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Пусть \(z_1 = r_1(\cos \varphi_1 + i\sin \varphi_1)\) и \(z_2 = r_2(\cos \varphi_2 + i\sin \varphi_2)\) — комплексные числа, записанные в тригонометрической форме (\(r_1 > 0\), \(r_2 > 0\)). При умножении модули перемножают, а аргументы складывают: \[z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)).\] Эта формула получается раскрытием скобок с учётом равенства \(i^2 = -1\) и формул косинуса и синуса суммы: \(\cos \varphi_1\cos \varphi_2 - \sin \varphi_1\sin \varphi_2 = \cos(\varphi_1 + \varphi_2)\), \(\sin \varphi_1\cos \varphi_2 + \cos \varphi_1\sin \varphi_2 = \sin(\varphi_1 + \varphi_2)\). Значит, модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом произведения.

При делении модуль делимого делят на модуль делителя, а из аргумента делимого вычитают аргумент делителя: \[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)).\] Чтобы получить эту формулу, числитель и знаменатель дроби \(\frac{z_1}{z_2}\) умножают на число \(\cos \varphi_2 - i\sin \varphi_2\): знаменатель становится равным \(r_2(\cos^2 \varphi_2 + \sin^2 \varphi_2) = r_2\), а в числителе по формулам косинуса и синуса разности получается \(r_1(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))\). Модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного.

Например, \(2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\right) \cdot 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right) = 6\left(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\right) = 6i\), а \(\frac{6\left(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\right)}{2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\right)} = 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + i\sin \frac{\pi}{6}\right)\). Умножение комплексной координаты точки на число \(\cos \varphi + i\sin \varphi\) означает поворот этой точки вокруг начала координат на угол \(\varphi\).

Ответ: при умножении модули перемножают, а аргументы складывают: \(z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 + \varphi_2))\); при делении модуль делимого делят на модуль делителя, а из аргумента делимого вычитают аргумент делителя: \(\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i\sin(\varphi_1 - \varphi_2))\).

С помощью формулы Муавра: если \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\), то при любом \(n \in \mathbf{N}\) \[z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi).\] Она следует из формулы умножения: при умножении \(n\) одинаковых множителей модули перемножаются, а аргументы складываются. Строго формулу доказывают методом математической индукции: при \(n = 1\) она верна, а если \(z^k = r^k(\cos k\varphi + i\sin k\varphi)\), то по формуле умножения \(z^{k + 1} = z^k \cdot z = r^{k + 1}(\cos((k + 1)\varphi) + i\sin((k + 1)\varphi))\).

Чтобы воспользоваться формулой Муавра, число, записанное в алгебраической форме, сначала записывают в тригонометрической форме. Например, \(1 + i = \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\right)\), поэтому \[(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8\left(\cos \frac{8\pi}{4} + i\sin \frac{8\pi}{4}\right) = 16(\cos 2\pi + i\sin 2\pi) = 16.\]

Ответ: с помощью формулы Муавра \((r(\cos \varphi + i\sin \varphi))^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi)\), где \(n \in \mathbf{N}\).

Корнем \(n\)-й степени из комплексного числа \(z\), где \(n \in \mathbf{N}\), \(n > 1\), называют такое комплексное число \(\omega\), что \(\omega^n = z\). Для любого числа \(z \ne 0\) таких чисел ровно \(n\). Если \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\) — тригонометрическая форма числа \(z\), то все они находятся по формуле корней \(n\)-й степени, где \(k \in \{0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ n - 1\}\): \[\omega_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right).\] Здесь \(\sqrt[n]{r}\) — арифметический корень \(n\)-й степени из положительного числа \(r\). По формуле Муавра \(\omega_k^n = r(\cos(\varphi + 2\pi k) + i\sin(\varphi + 2\pi k)) = z\). При других целых \(k\) формула даёт те же числа: замена \(k\) на \(k + n\) увеличивает угол на \(2\pi\). Корень \(n\)-й степени из числа \(0\) один — само число \(0\).

Все корни \(n\)-й степени из числа \(z \ne 0\) лежат на окружности радиуса \(\sqrt[n]{r}\) с центром в начале координат, аргументы соседних корней отличаются на \(\frac{2\pi}{n}\); при \(n \geqslant 3\) корни — вершины правильного \(n\)-угольника.

Например, \(-4 = 4(\cos \pi + i\sin \pi)\), и квадратные корни из числа \(-4\) получаются при \(k = 0\) и \(k = 1\): \[\begin{aligned} \omega_0 &= \sqrt{4}\left(\cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\right) = 2i, \\ \omega_1 &= \sqrt{4}\left(\cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2}\right) = -2i. \end{aligned}\]

Ответ: все корни \(n\)-й степени из числа \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\) вычисляют по формуле \(\omega_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right)\), где \(k \in \{0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1\}\); их ровно \(n\), а корень \(n\)-й степени из нуля — только \(0\).