Страница 142 номер 15.17, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Учащийся доказывает «равенство» \(1 = -1\) так: \(1 = \sqrt{(-1)^2} = \left(\sqrt{-1}\right)^2 = i^2 = -1\). В чём состоит ошибка учащегося?
Ошибка — во втором равенстве цепочки: равенство \(\sqrt{(-1)^2} = \left(\sqrt{-1}\right)^2\) неверно.
\(\sqrt{a}\) — арифметический квадратный корень, для отрицательных \(a\) он не определён. Поэтому первое равенство цепочки верно: \(\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1\), а запись \(\sqrt{-1}\) среди действительных чисел смысла не имеет. Обе части равенства \(\sqrt{a^2} = \left(\sqrt{a}\right)^2\) равны \(a\) только при \(a \geqslant 0\) (при любом действительном \(a\) верно лишь \(\sqrt{a^2} = |a|\)). Ученик применил это равенство при \(a = -1\), то есть распространил свойства арифметического квадратного корня из неотрицательного действительного числа на комплексные числа.
На множестве комплексных чисел квадратный корень из числа, отличного от нуля, имеет два значения: из числа \((-1)^2 = 1\) — числа \(1\) и \(-1\), из числа \(-1\) — числа \(i\) и \(-i\). Равенство \(i^2 = -1\) верно, ошибка не в нём. Числа \(1\) и \(-1\) — два разных значения квадратного корня из одного и того же числа \(1\), и равенство \(1 = -1\) из этого не следует.
Ответ: ошибка — в равенстве \(\sqrt{(-1)^2} = \left(\sqrt{-1}\right)^2\): ученик перенёс на комплексные числа свойство \(\sqrt{a^2} = \left(\sqrt{a}\right)^2\) арифметического квадратного корня, верное лишь при \(a \geqslant 0\); на множестве комплексных чисел квадратный корень из числа \((-1)^2 = 1\) имеет два значения — \(1\) и \(-1\).
Учащийся доказывает «равенство» \(1 = -1\) так: \(1 = \sqrt{(-1)^2} = \left(\sqrt{-1}\right)^2 = i^2 = -1\). В чём состоит ошибка учащегося?
Ошибка — во втором равенстве цепочки: равенство \(\sqrt{(-1)^2} = \left(\sqrt{-1}\right)^2\) неверно.
Запись \(\sqrt{a}\) обозначает арифметический квадратный корень из числа \(a \geqslant 0\) — неотрицательное число, квадрат которого равен \(a\); для отрицательных чисел он не определён. Поэтому первое равенство цепочки верно: \(\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1\), а запись \(\sqrt{-1}\) среди действительных чисел смысла не имеет. Равенство \(\sqrt{a^2} = \left(\sqrt{a}\right)^2\) — свойство арифметического квадратного корня: обе его части равны \(a\) только при \(a \geqslant 0\) (при любом действительном \(a\) верно лишь \(\sqrt{a^2} = |a|\)). Ученик применил это свойство при \(a = -1\), т. е. распространил определение и свойства арифметического квадратного корня из неотрицательного действительного числа на комплексные числа.
На множестве комплексных чисел квадратный корень из числа, отличного от нуля, имеет два значения: квадратные корни из числа \((-1)^2 = 1\) — числа \(1\) и \(-1\), квадратные корни из числа \(-1\) — числа \(i\) и \(-i\). Равенство \(i^2 = -1\) верно, ошибка не в нём: оно лишь показывает, что \(i\) — одно из значений квадратного корня из \(-1\). Числа \(1\) и \(-1\) — два разных значения квадратного корня из одного и того же числа \(1\), и равенство \(1 = -1\) из этого не следует.
Ответ: ошибка — в равенстве \(\sqrt{(-1)^2} = \left(\sqrt{-1}\right)^2\): ученик перенёс на комплексные числа свойство \(\sqrt{a^2} = \left(\sqrt{a}\right)^2\) арифметического квадратного корня, верное лишь при \(a \geqslant 0\); на множестве комплексных чисел квадратный корень из числа \((-1)^2 = 1\) имеет два значения — \(1\) и \(-1\).
