Страница 146 номер 15.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Найдите такие натуральные числа \(x \ge 18\) и \(y \ge 18\), что \(x^{2} + y^{2} = 37 \cdot 53\).
\[\begin{aligned} 37 &= 6^2 + 1^2 = |6 + i|^2; \\ 53 &= 7^2 + 2^2 = |7 + 2i|^2. \end{aligned}\] Так как \(|z_1| \cdot |z_2| = |z_1 z_2|\), то \[\begin{aligned} &37 \cdot 53 = |6 + i|^2 \cdot |7 + 2i|^2 = |(6 + i)(7 + 2i)|^2 = {} \\ &= |42 + 12i + 7i + 2i^2|^2 = |40 + 19i|^2 = 40^2 + 19^2. \end{aligned}\] Числа \(19\) и \(40\) натуральные и не меньше \(18\), поэтому подходят \(x = 19\), \(y = 40\), а также \(x = 40\), \(y = 19\).
При \(53 = |7 - 2i|^2\) получаем \((6 + i)(7 - 2i) = 44 - 5i\) и \(37 \cdot 53 = 44^2 + 5^2\), но \(5 < 18\).
Ответ: \(x = 19\), \(y = 40\) (или \(x = 40\), \(y = 19\)).
Найдите такие натуральные числа \(x \ge 18\) и \(y \ge 18\), что \(x^{2} + y^{2} = 37 \cdot 53\).
Представим каждый множитель в виде квадрата модуля комплексного числа: \[\begin{aligned} 37 &= 6^2 + 1^2 = |6 + i|^2; \\ 53 &= 7^2 + 2^2 = |7 + 2i|^2. \end{aligned}\] Воспользовавшись равенством \(|z_1| \cdot |z_2| = |z_1 z_2|\), получим: \[\begin{aligned} &37 \cdot 53 = |6 + i|^2 \cdot |7 + 2i|^2 = |(6 + i)(7 + 2i)|^2 = {} \\ &= |42 + 12i + 7i + 2i^2|^2 = |40 + 19i|^2 = 40^2 + 19^2. \end{aligned}\] Числа \(19\) и \(40\) натуральные и не меньше \(18\), поэтому подходят \(x = 19\), \(y = 40\), а также \(x = 40\), \(y = 19\).
Второй множитель можно взять и в виде \(53 = |7 - 2i|^2\), но тогда \((6 + i)(7 - 2i) = 44 - 5i\) и \(37 \cdot 53 = 44^2 + 5^2\), а \(5 < 18\).
Ответ: \(x = 19\), \(y = 40\) (или \(x = 40\), \(y = 19\)).
