Страница 146 номер 15.19, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Докажите равенство \[\cos \frac{\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} + \cos \frac{7\pi}{13} + \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{11\pi}{13} = \frac{1}{2}.\]
Пусть \(\varphi = \frac{\pi}{13}\), \(a = \cos \varphi + i\sin \varphi\), \(S = a + a^3 + a^5 + a^7 + a^9 + a^{11}\). По формуле Муавра \(a^k = \cos k\varphi + i\sin k\varphi\) при любом натуральном \(k\), поэтому \[\begin{aligned} &S = (\cos \varphi + \cos 3\varphi + \cos 5\varphi + \cos 7\varphi + \cos 9\varphi + \cos 11\varphi) + {} \\ &+ i(\sin \varphi + \sin 3\varphi + \sin 5\varphi + \sin 7\varphi + \sin 9\varphi + \sin 11\varphi). \end{aligned}\] Значит, левая часть доказываемого равенства — действительная часть числа \(S\).
Слагаемые суммы \(S\) — шесть первых членов геометрической прогрессии с первым членом \(a\) и знаменателем \(a^2 = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi\), причём \(a^2 \ne 1\), так как \(\sin 2\varphi = \sin \frac{2\pi}{13} > 0\). Поэтому
\[S = \frac{a\left((a^2)^6 - 1\right)}{a^2 - 1} = \frac{a^{13} - a}{a^2 - 1}.\]
\(a^{13} = \cos 13\varphi + i\sin 13\varphi = \cos \pi + i\sin \pi = -1\). Число \(a + 1\) не равно нулю (его мнимая часть \(\sin \varphi > 0\)), поэтому дробь можно сократить на \(a + 1\):
\[S = \frac{-1 - a}{a^2 - 1} = \frac{-(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{1 - a}.\]
Умножим числитель и знаменатель на число \((1 - \cos \varphi) + i\sin \varphi\), сопряжённое знаменателю \(1 - a = (1 - \cos \varphi) - i\sin \varphi\);
\((1 - \cos \varphi)^2 + \sin^2 \varphi = 2 - 2\cos \varphi\) и \(\cos \varphi \ne 1\):
\[S = \frac{(1 - \cos \varphi) + i\sin \varphi}{2 - 2\cos \varphi} = \frac{1}{2} + \frac{\sin \varphi}{2(1 - \cos \varphi)}i.\]
Действительная часть числа \(S\) равна \(\frac{1}{2}\), поэтому
\[\begin{aligned} &\cos \frac{\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} + {} \\ &+ \cos \frac{7\pi}{13} + \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{11\pi}{13} = \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: равенство доказано: сумма косинусов в левой части — действительная часть числа \(S = \frac{1}{1 - a}\), где \(a = \cos \frac{\pi}{13} + i\sin \frac{\pi}{13}\), и она равна \(\frac{1}{2}\).
Докажите равенство \[\cos \frac{\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} + \cos \frac{7\pi}{13} + \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{11\pi}{13} = \frac{1}{2}.\]
Обозначим \(\varphi = \frac{\pi}{13}\), \(a = \cos \varphi + i\sin \varphi\) и рассмотрим сумму \(S = a + a^3 + a^5 + a^7 + a^9 + a^{11}\). По формуле Муавра \(a^k = \cos k\varphi + i\sin k\varphi\) при любом натуральном \(k\), поэтому \[\begin{aligned} &S = (\cos \varphi + \cos 3\varphi + \cos 5\varphi + \cos 7\varphi + \cos 9\varphi + \cos 11\varphi) + {} \\ &+ i(\sin \varphi + \sin 3\varphi + \sin 5\varphi + \sin 7\varphi + \sin 9\varphi + \sin 11\varphi). \end{aligned}\] Значит, левая часть доказываемого равенства — действительная часть числа \(S\).
Слагаемые суммы \(S\) — шесть первых членов геометрической прогрессии с первым членом \(a\) и знаменателем \(a^2 = \cos 2\varphi + i\sin 2\varphi\), причём \(a^2 \ne 1\), так как \(\sin 2\varphi = \sin \frac{2\pi}{13} > 0\). По формуле суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии \[S = \frac{a\left((a^2)^6 - 1\right)}{a^2 - 1} = \frac{a^{13} - a}{a^2 - 1}.\]
По формуле Муавра \(a^{13} = \cos 13\varphi + i\sin 13\varphi = \cos \pi + i\sin \pi = -1\). Число \(a + 1\) не равно нулю (его мнимая часть \(\sin \varphi > 0\)), поэтому дробь можно сократить на \(a + 1\): \[S = \frac{-1 - a}{a^2 - 1} = \frac{-(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{1 - a}.\]
Умножим числитель и знаменатель на число \((1 - \cos \varphi) + i\sin \varphi\), сопряжённое знаменателю \(1 - a = (1 - \cos \varphi) - i\sin \varphi\); учтём, что \((1 - \cos \varphi)^2 + \sin^2 \varphi = 2 - 2\cos \varphi\) и \(\cos \varphi \ne 1\): \[S = \frac{(1 - \cos \varphi) + i\sin \varphi}{2 - 2\cos \varphi} = \frac{1}{2} + \frac{\sin \varphi}{2(1 - \cos \varphi)}i.\]
Действительная часть числа \(S\) равна \(\frac{1}{2}\), поэтому \[\begin{aligned} &\cos \frac{\pi}{13} + \cos \frac{3\pi}{13} + \cos \frac{5\pi}{13} + {} \\ &+ \cos \frac{7\pi}{13} + \cos \frac{9\pi}{13} + \cos \frac{11\pi}{13} = \frac{1}{2}. \end{aligned}\]
Ответ: равенство доказано: сумма косинусов в левой части — действительная часть числа \(S = \frac{1}{1 - a}\), где \(a = \cos \frac{\pi}{13} + i\sin \frac{\pi}{13}\), и она равна \(\frac{1}{2}\).
