Страница 147 номер 15.30, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 3. Комплексные числа. §15. Умножение и деление комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме. Корень n-й степени из комплексного числа. Страница 147. Номер 15.30

Решение:

Точки \(A\), \(C\), \(E\) лежат на прямой \(l\) в указанном порядке; \(ABC\) и \(CDE\) — равносторонние треугольники, построенные на отрезках \(AC\) и \(CE\) в одной полуплоскости относительно прямой \(l\); \(K\) и \(M\) — середины отрезков \(AD\) и \(BE\). Докажем, что треугольник \(CKM\) равносторонний.

Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(C\) совпала с началом координат, прямая \(l\) — с действительной осью, точка \(E\) лежала на её положительной полуоси (тогда точка \(A\) — на отрицательной), а треугольники \(ABC\) и \(CDE\) — выше действительной оси. Пусть \(z_A\), \(z_B\), \(z_D\), \(z_E\), \(z_K\), \(z_M\) — комплексные координаты точек \(A\), \(B\), \(D\), \(E\), \(K\), \(M\). Обозначим \(\varepsilon = \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\); тогда \(\overline{\varepsilon} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\) и \(\varepsilon\overline{\varepsilon} = |\varepsilon|^2 = 1\).

график

Луч \(CA\) направлен по отрицательной полуоси, \(CB = CA\), \(\angle ACB = \frac{\pi}{3}\) и точка \(B\) лежит выше действительной оси, поэтому \(B\) — образ точки \(A\) при повороте с центром \(C\) на угол \(-\frac{\pi}{3}\). Луч \(CE\) направлен по положительной полуоси, \(CD = CE\), \(\angle DCE = \frac{\pi}{3}\) и точка \(D\) лежит выше действительной оси, поэтому \(D\) — образ точки \(E\) при повороте с центром \(C\) на угол \(\frac{\pi}{3}\). Значит, \(z_B = \overline{\varepsilon}z_A\), \(z_D = \varepsilon z_E\), а середины отрезков \(AD\) и \(BE\) имеют комплексные координаты \[\begin{aligned} z_K &= \frac{z_A + \varepsilon z_E}{2}; \\ z_M &= \frac{\overline{\varepsilon}z_A + z_E}{2}. \end{aligned}\] Имеем: \(\overline{\varepsilon}z_K = \frac{\overline{\varepsilon}z_A + \overline{\varepsilon}\varepsilon z_E}{2} = \frac{\overline{\varepsilon}z_A + z_E}{2} = z_M\).

Значит, точка \(M\) — образ точки \(K\) при повороте с центром \(C\) на угол \(-\frac{\pi}{3}\), причём \(K \ne C\): мнимая часть числа \(z_K\) равна \(\frac{z_E}{2}\sin \frac{\pi}{3} > 0\). Поэтому \(CM = CK\) и \(\angle KCM = 60^\circ\), а равнобедренный треугольник \(CKM\) с углом \(60^\circ\) при вершине — равносторонний.

Ответ: доказано: точка \(M\) — образ точки \(K\) при повороте с центром \(C\) на угол \(-60^\circ\), поэтому треугольник \(CKM\) равносторонний.

Номер 15.29 Номер 15.31

смотреть все номера