Страница 141 номер 15.12, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Корни \(n\)-й степени из числа \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)\), \(z \ne 0\), находим по формуле корней \(n\)-й степени, где \(k \in \{0,\ 1,\ \ldots,\ n - 1\}\): \[\omega_k = \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin \frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right).\] Модули всех корней равны \(\sqrt[n]{r}\), а аргументы соседних корней отличаются на \(\frac{2\pi}{n}\). Поэтому на комплексной плоскости корни лежат на окружности радиуса \(\sqrt[n]{r}\) с центром в начале координат и делят её на \(n\) равных частей, т. е. являются вершинами правильного \(n\)-угольника.

1) \(z = -1 = \cos \pi + i\sin \pi\), \(n = 4\). Здесь \(r = 1\), угол \(\frac{\pi + 2\pi k}{4} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\): \[\begin{aligned} \omega_0 &= \cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ \omega_1 &= \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ \omega_2 &= \cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ \omega_3 &= \cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i. \end{aligned}\] Изобразим корни на комплексной плоскости: они лежат на окружности радиуса \(1\) с центром в начале координат (на ней лежит и само число \(-1\)) и являются вершинами квадрата.

2) \(z = 1 + \sqrt{3}i\), \(n = 3\). \(|z| = \sqrt{1 + 3} = 2\), поэтому \[1 + \sqrt{3}i = 2\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}\right).\] Модуль корней — \(\sqrt[3]{2}\), угол \(\frac{\frac{\pi}{3} + 2\pi k}{3} = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ 2\}\): \[\begin{aligned} \omega_0 &= \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{9} + i\sin \frac{\pi}{9}\right), \\ \omega_1 &= \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{9} + i\sin \frac{7\pi}{9}\right), \\ \omega_2 &= \sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{9} + i\sin \frac{13\pi}{9}\right). \end{aligned}\] Изобразим корни на комплексной плоскости: они лежат на окружности радиуса \(\sqrt[3]{2}\) с центром в начале координат и являются вершинами правильного треугольника.

3) \(z = 1 = \cos 0 + i\sin 0\), \(n = 8\). Корни восьмой степени из числа \(1\) находим по той же формуле при \(r = 1\), \(\varphi = 0\): \(e_k = \cos \frac{2\pi k}{8} + i\sin \frac{2\pi k}{8} = \cos \frac{\pi k}{4} + i\sin \frac{\pi k}{4}\), где \(k \in \{0,\ 1,\ \ldots,\ 7\}\): \[\begin{aligned} e_0 &= \cos 0 + i\sin 0 = 1, \\ e_1 &= \cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ e_2 &= \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2} = i, \\ e_3 &= \cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ e_4 &= \cos \pi + i\sin \pi = -1, \\ e_5 &= \cos \frac{5\pi}{4} + i\sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i, \\ e_6 &= \cos \frac{3\pi}{2} + i\sin \frac{3\pi}{2} = -i, \\ e_7 &= \cos \frac{7\pi}{4} + i\sin \frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i. \end{aligned}\] Изобразим корни на комплексной плоскости: они лежат на окружности радиуса \(1\) с центром в начале координат и являются вершинами правильного восьмиугольника.

Ответ: 1) \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\); 2) \(\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{\pi}{9} + i\sin \frac{\pi}{9}\right)\); \(\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{7\pi}{9} + i\sin \frac{7\pi}{9}\right)\); \(\sqrt[3]{2}\left(\cos \frac{13\pi}{9} + i\sin \frac{13\pi}{9}\right)\); 3) \(-1\); \(1\); \(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(i\); \(-i\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\); \(-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}i\).