Страница 135 номер 14.24, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Изобразите на комплексной плоскости все числа \(z\), удовлетворяющие условию: 1) \(\operatorname{Re} \frac{1}{z} - \operatorname{Im} \frac{1}{z} = \frac{1}{4}\); 2) \((1 - i)\overline{z} = (1 + i)z\).
1) Число \(\frac{1}{z}\) определено только при \(z \ne 0\). Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа, не равные нулю одновременно, то есть \(x^2 + y^2 \ne 0\): \[\frac{1}{z} = \frac{x - yi}{(x + yi)(x - yi)} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.\] Значит, \(\operatorname{Re}\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2 + y^2}\), \(\operatorname{Im}\frac{1}{z} = -\frac{y}{x^2 + y^2}\), и условие \(\operatorname{Re}\frac{1}{z} - \operatorname{Im}\frac{1}{z} = \frac{1}{4}\) принимает вид \(\frac{x + y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{4}\). Так как \(x^2 + y^2 \ne 0\), после умножения обеих частей на \(4(x^2 + y^2)\) получаем равносильное уравнение: \[\begin{aligned} \frac{x + y}{x^2 + y^2} &= \frac{1}{4}; \qquad | \cdot 4(x^2 + y^2) \\ x^2 + y^2 &= 4x + 4y; \\ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 &= 8; \\ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 &= 8. \end{aligned}\] Левая часть последнего уравнения — квадрат модуля числа \(z - (2 + 2i) = (x - 2) + (y - 2)i\), поэтому оно означает, что \(|z - (2 + 2i)| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\): это окружность с центром в точке \(2 + 2i\) радиуса \(2\sqrt{2}\). Она проходит через точку \(0\), так как \((0 - 2)^2 + (0 - 2)^2 = 8\), а при \(z = 0\) число \(\frac{1}{z}\) не определено. Искомое множество — окружность с центром в точке \(2 + 2i\) радиуса \(2\sqrt{2}\) без точки \(0\).
2) Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа; тогда \(\overline{z} = x - yi\) и \[\begin{aligned} (1 - i)(x - yi) &= x - yi - xi + yi^2 = (x - y) - (x + y)i; \\ (1 + i)(x + yi) &= x + yi + xi + yi^2 = (x - y) + (x + y)i. \end{aligned}\] Действительные части равны при любых \(x\) и \(y\), а мнимые — при \(-(x + y) = x + y\), то есть при \(x + y = 0\), \(y = -x\). Искомое множество — прямая \(y = -x\), биссектриса второго и четвёртого координатных углов.
Ответ: 1) окружность с центром в точке \(2 + 2i\) радиуса \(2\sqrt{2}\) без точки \(0\); 2) прямая \(y = -x\), где \(x = \operatorname{Re} z\), \(y = \operatorname{Im} z\), — биссектриса второго и четвёртого координатных углов.
Изобразите на комплексной плоскости все числа \(z\), удовлетворяющие условию: 1) \(\operatorname{Re} \frac{1}{z} - \operatorname{Im} \frac{1}{z} = \frac{1}{4}\); 2) \((1 - i)\overline{z} = (1 + i)z\).
1) Число \(\frac{1}{z}\) определено только при \(z \ne 0\). Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа, не равные нулю одновременно, т. е. \(x^2 + y^2 \ne 0\). Умножим числитель и знаменатель дроби на число \(x - yi\), сопряжённое знаменателю: \[\frac{1}{z} = \frac{x - yi}{(x + yi)(x - yi)} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.\] Значит, \(\operatorname{Re}\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2 + y^2}\), \(\operatorname{Im}\frac{1}{z} = -\frac{y}{x^2 + y^2}\), и условие \(\operatorname{Re}\frac{1}{z} - \operatorname{Im}\frac{1}{z} = \frac{1}{4}\) принимает вид \(\frac{x + y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{4}\). Так как \(x^2 + y^2 \ne 0\), после умножения обеих частей на \(4(x^2 + y^2)\) получаем равносильное уравнение: \[\begin{aligned} \frac{x + y}{x^2 + y^2} &= \frac{1}{4}; \qquad | \cdot 4(x^2 + y^2) \\ x^2 + y^2 &= 4x + 4y; \\ x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 &= 8; \\ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 &= 8. \end{aligned}\] Левая часть последнего уравнения — квадрат модуля числа \(z - (2 + 2i) = (x - 2) + (y - 2)i\), поэтому оно означает, что \(|z - (2 + 2i)| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\): точка \(z\) удалена от точки \(2 + 2i\) на расстояние \(2\sqrt{2}\). Это окружность с центром в точке \(2 + 2i\) радиуса \(2\sqrt{2}\). Она проходит через точку \(0\), так как \((0 - 2)^2 + (0 - 2)^2 = 8\), а при \(z = 0\) число \(\frac{1}{z}\) не определено. Значит, искомое множество — окружность с центром в точке \(2 + 2i\) радиуса \(2\sqrt{2}\) без точки \(0\).
2) Условие \((1 - i)\overline{z} = (1 + i)z\). Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа; тогда \(\overline{z} = x - yi\) и \[\begin{aligned} (1 - i)(x - yi) &= x - yi - xi + yi^2 = (x - y) - (x + y)i; \\ (1 + i)(x + yi) &= x + yi + xi + yi^2 = (x - y) + (x + y)i. \end{aligned}\] Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части. Действительные части равны при любых \(x\) и \(y\), а мнимые — при \(-(x + y) = x + y\), т. е. при \(x + y = 0\), \(y = -x\). Значит, искомое множество — прямая \(y = -x\), биссектриса второго и четвёртого координатных углов.
Ответ: 1) окружность с центром в точке \(2 + 2i\) радиуса \(2\sqrt{2}\) без точки \(0\); 2) прямая \(y = -x\), где \(x = \operatorname{Re} z\), \(y = \operatorname{Im} z\), — биссектриса второго и четвёртого координатных углов.
