Страница 135 номер 14.22, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Глава 3. Комплексные числа. §14. Комплексная плоскость. Тригонометрическая форма комплексного числа. Страница 135. Номер 14.22

Задание / условие:

Представьте в тригонометрической форме число \(1 - \cos \varphi + i \sin \varphi\), если: 1) \(\varphi \in (0;\ \pi)\); 2) \(\varphi \in (-\pi;\ 0)\).

Решение:

\(1 - \cos\varphi = 2\sin^2\frac{\varphi}{2}\) и \(\sin\varphi = 2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\);
\(\sin\frac{\varphi}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}\right) = \cos\frac{\pi - \varphi}{2}\) и \(\cos\frac{\varphi}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}\right) = \sin\frac{\pi - \varphi}{2}\). Поэтому \[\begin{aligned} &1 - \cos\varphi + i\sin\varphi = 2\sin^2\frac{\varphi}{2} + 2i\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2} = {} \\ &= 2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\sin\frac{\varphi}{2} + i\cos\frac{\varphi}{2}\right) = 2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{\pi - \varphi}{2} + i\sin\frac{\pi - \varphi}{2}\right). \end{aligned}\] В тригонометрической форме \(r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\) множитель \(r\) положителен, поэтому нужно учесть знак числа \(\sin\frac{\varphi}{2}\).

1) Если \(\varphi \in (0;\ \pi)\), то \(\frac{\varphi}{2} \in \left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\) и \(\sin\frac{\varphi}{2} > 0\), поэтому полученная запись — тригонометрическая форма данного числа: \[1 - \cos\varphi + i\sin\varphi = 2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{\pi - \varphi}{2} + i\sin\frac{\pi - \varphi}{2}\right).\]

2) Если \(\varphi \in (-\pi;\ 0)\), то \(\frac{\varphi}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2};\ 0\right)\) и \(\sin\frac{\varphi}{2} < 0\), то есть \(-2\sin\frac{\varphi}{2} > 0\). Вносим минус в скобки и пользуемся формулами приведения \(-\cos\alpha = \cos(\pi + \alpha)\), \(-\sin\alpha = \sin(\pi + \alpha)\); здесь \(\pi + \frac{\pi - \varphi}{2} = \frac{3\pi - \varphi}{2}\): \[\begin{aligned} &1 - \cos\varphi + i\sin\varphi = -2\sin\frac{\varphi}{2}\left(-\cos\frac{\pi - \varphi}{2} - i\sin\frac{\pi - \varphi}{2}\right) = {} \\ &= -2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{3\pi - \varphi}{2} + i\sin\frac{3\pi - \varphi}{2}\right). \end{aligned}\] Множитель \(-2\sin\frac{\varphi}{2}\) положителен, поэтому это тригонометрическая форма данного числа.

Ответ: 1) \(2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{\pi - \varphi}{2} + i\sin\frac{\pi - \varphi}{2}\right)\); 2) \(-2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{3\pi - \varphi}{2} + i\sin\frac{3\pi - \varphi}{2}\right)\).

Задание / условие:

Представьте в тригонометрической форме число \(1 - \cos \varphi + i \sin \varphi\), если: 1) \(\varphi \in (0;\ \pi)\); 2) \(\varphi \in (-\pi;\ 0)\).

Решение:

По формулам двойного угла \(1 - \cos\varphi = 2\sin^2\frac{\varphi}{2}\) и \(\sin\varphi = 2\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\), а по формулам приведения \(\sin\frac{\varphi}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}\right) = \cos\frac{\pi - \varphi}{2}\) и \(\cos\frac{\varphi}{2} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\varphi}{2}\right) = \sin\frac{\pi - \varphi}{2}\). Поэтому \[\begin{aligned} &1 - \cos\varphi + i\sin\varphi = 2\sin^2\frac{\varphi}{2} + 2i\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2} = {} \\ &= 2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\sin\frac{\varphi}{2} + i\cos\frac{\varphi}{2}\right) = 2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{\pi - \varphi}{2} + i\sin\frac{\pi - \varphi}{2}\right). \end{aligned}\] В тригонометрической форме \(r(\cos\alpha + i\sin\alpha)\) множитель \(r\) положителен, поэтому нужно учесть знак числа \(\sin\frac{\varphi}{2}\).

1) Если \(\varphi \in (0;\ \pi)\), то \(\frac{\varphi}{2} \in \left(0;\ \frac{\pi}{2}\right)\) и \(\sin\frac{\varphi}{2} > 0\). Значит, полученная запись — тригонометрическая форма данного числа: \[1 - \cos\varphi + i\sin\varphi = 2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{\pi - \varphi}{2} + i\sin\frac{\pi - \varphi}{2}\right).\]

2) Если \(\varphi \in (-\pi;\ 0)\), то \(\frac{\varphi}{2} \in \left(-\frac{\pi}{2};\ 0\right)\) и \(\sin\frac{\varphi}{2} < 0\), т. е. \(-2\sin\frac{\varphi}{2} > 0\). Внесём минус в скобки и воспользуемся формулами приведения \(-\cos\alpha = \cos(\pi + \alpha)\), \(-\sin\alpha = \sin(\pi + \alpha)\); здесь \(\pi + \frac{\pi - \varphi}{2} = \frac{3\pi - \varphi}{2}\): \[\begin{aligned} &1 - \cos\varphi + i\sin\varphi = -2\sin\frac{\varphi}{2}\left(-\cos\frac{\pi - \varphi}{2} - i\sin\frac{\pi - \varphi}{2}\right) = {} \\ &= -2\sin\frac{\varphi}{2}\left(\cos\frac{3\pi - \varphi}{2} + i\sin\frac{3\pi - \varphi}{2}\right). \end{aligned}\] Множитель \(-2\sin\frac{\varphi}{2}\) положителен, поэтому это тригонометрическая форма данного числа.