Страница 135 номер 14.23, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
Изобразите на комплексной плоскости все числа \(z\), удовлетворяющие условию: 1) \(\operatorname{Re} \frac{1}{z} + \operatorname{Im} \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\); 2) \((1 + i)\overline{z} = (1 - i)z\).
1) Число \(\frac{1}{z}\) определено только при \(z \ne 0\). Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа, не равные нулю одновременно, то есть \(x^2 + y^2 \ne 0\): \[\frac{1}{z} = \frac{x - yi}{(x + yi)(x - yi)} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.\] Значит, \(\operatorname{Re}\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2 + y^2}\), \(\operatorname{Im}\frac{1}{z} = -\frac{y}{x^2 + y^2}\), и условие \(\operatorname{Re}\frac{1}{z} + \operatorname{Im}\frac{1}{z} = \frac{1}{2}\) принимает вид \(\frac{x - y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2}\). Так как \(x^2 + y^2 \ne 0\), после умножения обеих частей на \(2(x^2 + y^2)\) получаем равносильное уравнение: \[\begin{aligned} \frac{x - y}{x^2 + y^2} &= \frac{1}{2}; \qquad | \cdot 2(x^2 + y^2) \\ x^2 + y^2 &= 2x - 2y; \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 &= 2; \\ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 &= 2. \end{aligned}\] Левая часть последнего уравнения — квадрат модуля числа \(z - (1 - i) = (x - 1) + (y + 1)i\), поэтому оно означает, что \(|z - (1 - i)| = \sqrt{2}\): это окружность с центром в точке \(1 - i\) радиуса \(\sqrt{2}\). Она проходит через точку \(0\), так как \((0 - 1)^2 + (0 + 1)^2 = 2\), а при \(z = 0\) число \(\frac{1}{z}\) не определено. Искомое множество — окружность с центром в точке \(1 - i\) радиуса \(\sqrt{2}\) без точки \(0\).
2) Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа; тогда \(\overline{z} = x - yi\) и \[\begin{aligned} (1 + i)(x - yi) &= x - yi + xi - yi^2 = (x + y) + (x - y)i; \\ (1 - i)(x + yi) &= x + yi - xi - yi^2 = (x + y) + (y - x)i. \end{aligned}\] Действительные части равны при любых \(x\) и \(y\), а мнимые — при \(x - y = y - x\), то есть при \(y = x\). Искомое множество — прямая \(y = x\), биссектриса первого и третьего координатных углов.
Ответ: 1) окружность с центром в точке \(1 - i\) радиуса \(\sqrt{2}\) без точки \(0\); 2) прямая \(y = x\), где \(x = \operatorname{Re} z\), \(y = \operatorname{Im} z\), — биссектриса первого и третьего координатных углов.
Изобразите на комплексной плоскости все числа \(z\), удовлетворяющие условию: 1) \(\operatorname{Re} \frac{1}{z} + \operatorname{Im} \frac{1}{z} = \frac{1}{2}\); 2) \((1 + i)\overline{z} = (1 - i)z\).
1) Число \(\frac{1}{z}\) определено только при \(z \ne 0\). Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа, не равные нулю одновременно, т. е. \(x^2 + y^2 \ne 0\). Умножим числитель и знаменатель дроби на число \(x - yi\), сопряжённое знаменателю: \[\frac{1}{z} = \frac{x - yi}{(x + yi)(x - yi)} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i.\] Значит, \(\operatorname{Re}\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2 + y^2}\), \(\operatorname{Im}\frac{1}{z} = -\frac{y}{x^2 + y^2}\), и условие \(\operatorname{Re}\frac{1}{z} + \operatorname{Im}\frac{1}{z} = \frac{1}{2}\) принимает вид \(\frac{x - y}{x^2 + y^2} = \frac{1}{2}\). Так как \(x^2 + y^2 \ne 0\), после умножения обеих частей на \(2(x^2 + y^2)\) получаем равносильное уравнение: \[\begin{aligned} \frac{x - y}{x^2 + y^2} &= \frac{1}{2}; \qquad | \cdot 2(x^2 + y^2) \\ x^2 + y^2 &= 2x - 2y; \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 &= 2; \\ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 &= 2. \end{aligned}\] Левая часть последнего уравнения — квадрат модуля числа \(z - (1 - i) = (x - 1) + (y + 1)i\), поэтому оно означает, что \(|z - (1 - i)| = \sqrt{2}\): точка \(z\) удалена от точки \(1 - i\) на расстояние \(\sqrt{2}\). Это окружность с центром в точке \(1 - i\) радиуса \(\sqrt{2}\). Она проходит через точку \(0\), так как \((0 - 1)^2 + (0 + 1)^2 = 2\), а при \(z = 0\) число \(\frac{1}{z}\) не определено. Значит, искомое множество — окружность с центром в точке \(1 - i\) радиуса \(\sqrt{2}\) без точки \(0\).
2) Условие \((1 + i)\overline{z} = (1 - i)z\). Пусть \(z = x + yi\), где \(x\) и \(y\) — действительные числа; тогда \(\overline{z} = x - yi\) и \[\begin{aligned} (1 + i)(x - yi) &= x - yi + xi - yi^2 = (x + y) + (x - y)i; \\ (1 - i)(x + yi) &= x + yi - xi - yi^2 = (x + y) + (y - x)i. \end{aligned}\] Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части. Действительные части равны при любых \(x\) и \(y\), а мнимые — при \(x - y = y - x\), т. е. при \(y = x\). Значит, искомое множество — прямая \(y = x\), биссектриса первого и третьего координатных углов.
Ответ: 1) окружность с центром в точке \(1 - i\) радиуса \(\sqrt{2}\) без точки \(0\); 2) прямая \(y = x\), где \(x = \operatorname{Re} z\), \(y = \operatorname{Im} z\), — биссектриса первого и третьего координатных углов.
