Страница 146 номер 15.25, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа
В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(K\) — середина отрезка \(MN\). Медианы треугольника \(BCD\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(A\) совпала с началом координат. Пусть \(b\), \(c\) и \(d\) — комплексные координаты точек \(B\), \(C\) и \(D\), а \(z_M\), \(z_N\), \(z_K\), \(z_P\) — комплексные координаты точек \(M\), \(N\), \(K\), \(P\).
\[\begin{aligned} z_M &= \frac{b}{2}; \\ z_N &= \frac{c + d}{2}; \\ z_K &= \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{b + c + d}{4}. \end{aligned}\]
\(N\) — середина стороны \(CD\), поэтому \(BN\) — медиана треугольника \(BCD\); точка \(P\) делит её в отношении \(2 : 1\), считая от вершины \(B\), поэтому \(\overrightarrow{BP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BN}\), то есть \(z_P - b = \frac{2}{3}(z_N - b)\). Отсюда \[z_P = \frac{b}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{c + d}{2} = \frac{b + c + d}{3}.\]
Тогда \(z_K = \frac{3}{4}z_P\), то есть \(\overrightarrow{AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AP}\): точка \(K\) лежит на отрезке \(AP\) и \(AK = \frac{3}{4}AP\). Значит, точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
Ответ: доказано: \(\overrightarrow{AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AP}\), поэтому точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Точка \(K\) — середина отрезка \(MN\). Медианы треугольника \(BCD\) пересекаются в точке \(P\). Докажите, что точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
Введём комплексную плоскость так, чтобы точка \(A\) совпала с началом координат. Пусть \(b\), \(c\) и \(d\) — комплексные координаты точек \(B\), \(C\) и \(D\), а \(z_M\), \(z_N\), \(z_K\), \(z_P\) — комплексные координаты точек \(M\), \(N\), \(K\), \(P\).
Комплексная координата середины отрезка равна полусумме комплексных координат его концов, поэтому \[\begin{aligned} z_M &= \frac{b}{2}; \\ z_N &= \frac{c + d}{2}; \\ z_K &= \frac{z_M + z_N}{2} = \frac{b + c + d}{4}. \end{aligned}\]
Точка \(N\) — середина стороны \(CD\) треугольника \(BCD\), поэтому \(BN\) — медиана этого треугольника. Точка \(P\) пересечения медиан делит медиану \(BN\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины \(B\), поэтому \(\overrightarrow{BP} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BN}\), т. е. \(z_P - b = \frac{2}{3}(z_N - b)\). Отсюда \[z_P = \frac{b}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{c + d}{2} = \frac{b + c + d}{3}.\]
Тогда \(z_K = \frac{3}{4}z_P\), т. е. \(\overrightarrow{AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AP}\): точка \(K\) лежит на отрезке \(AP\) и \(AK = \frac{3}{4}AP\). Значит, точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
Ответ: доказано: \(\overrightarrow{AK} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AP}\), поэтому точки \(A\), \(K\) и \(P\) лежат на одной прямой.
