Вопросы после параграфа §16 на странице 152, ГДЗ по алгебре за 11 класс к учебнику Мерзляка углубленный уровень. Алгебра и начала математического анализа

Каждый многочлен \(P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0\) степени \(n \in \mathbf{N}\) с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

Теорема утверждает, что хотя бы один корень у такого многочлена есть, но не говорит, как его найти. Если старший коэффициент многочлена отличен от 1, то, разделив многочлен на этот коэффициент, получим многочлен указанного вида с теми же корнями; поэтому комплексный корень имеет каждый многочлен степени \(n \in \mathbf{N}\) с комплексными коэффициентами. Например, многочлен \(z^2 + 4\) не имеет действительных корней, но имеет комплексный корень \(2i\): \((2i)^2 + 4 = 4i^2 + 4 = -4 + 4 = 0\).

Ответ: каждый многочлен \(P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0\) степени \(n \in \mathbf{N}\) с комплексными коэффициентами имеет комплексный корень.

Каждый многочлен \(P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0\) степени \(n \in \mathbf{N}\) с комплексными коэффициентами можно единственным способом представить в виде произведения линейных множителей \(P(z) = (z - z_1)(z - z_2)\ldots(z - z_n)\). Числа \(z_1,\ z_2,\ \ldots,\ z_n\), среди которых могут быть равные, являются корнями многочлена \(P\), и каждый корень многочлена \(P\) равен одному из этих чисел.

Разложение получают так: по основной теореме алгебры многочлен \(P\) имеет корень \(z_1\), и по теореме Безу \(P(z) = (z - z_1)Q(z)\), где \(Q\) — многочлен степени \(n - 1\) со старшим коэффициентом 1; если \(n - 1 \geqslant 1\), то так же выделяют множитель \(z - z_2\), где \(z_2\) — корень многочлена \(Q\), и так далее. Из следствия получаем, что многочлен степени \(n\) имеет не более \(n\) различных корней.

Например, \[\begin{aligned} &z^3 - z^2 + 4z - 4 = z^2(z - 1) + 4(z - 1) = {} \\ &= (z - 1)(z^2 + 4) = (z - 1)(z - 2i)(z + 2i). \end{aligned}\] Корни этого многочлена — числа \(1\), \(2i\) и \(-2i\). А в разложении \(z^2 - 2z + 1 = (z - 1)(z - 1)\) оба числа равны \(1\).

Ответ: каждый многочлен \(P(z) = z^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0\) степени \(n \in \mathbf{N}\) с комплексными коэффициентами можно единственным способом представить в виде произведения линейных множителей \(P(z) = (z - z_1)(z - z_2)\ldots(z - z_n)\); числа \(z_1,\ z_2,\ \ldots,\ z_n\) (среди них могут быть равные) — корни многочлена \(P\), и каждый его корень равен одному из них.

Комплексные числа \(x_1\), \(x_2\) и \(x_3\) являются корнями многочлена с комплексными коэффициентами \(P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(a \ne 0\), тогда и только тогда, когда \[\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}, \\ x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}, \\ x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}. \end{cases}\] Эти равенства получают, раскрыв скобки в равенстве \(P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях \(x\); обратно, если равенства выполняются, то у многочленов \(ax^3 + bx^2 + cx + d\) и \(a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\) коэффициенты совпадают, и числа \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) — корни многочлена \(P\). Если среди корней есть равные, каждый из них учитывается столько раз, сколько раз соответствующий множитель входит в разложение: например, у многочлена \(x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2)\) это числа \(1\), \(1\), \(-2\).

Проверим теорему на многочлене \(2x^3 - 4x^2 - 2x + 4 = 2(x - 1)(x + 1)(x - 2)\) с корнями \(1\), \(-1\), \(2\): \[\begin{aligned} 1 + (-1) + 2 &= 2 = -\frac{-4}{2}, \\ 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 2 &= -1 = \frac{-2}{2}, \\ 1 \cdot (-1) \cdot 2 &= -2 = -\frac{4}{2}. \end{aligned}\]

Ответ: комплексные числа \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) являются корнями многочлена \(P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) с комплексными коэффициентами, \(a \ne 0\), тогда и только тогда, когда \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\), \(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a}\), \(x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}\); равные корни учитываются столько раз, сколько раз они входят в разложение \(P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)\).